Exercice n°8
Pour tout ε>0 il existe un entier N = N (ε) tel que pour n > N on ait 1/n <εet alors :
P (|X n − 1| <ε) =
1
2
+
1
2
= 1
Donc P (|X n − 1| <ε) −→ 1 quand n −→ ∞ ce qui montre que la suite (X n ) converge
en probabilité vers la v. a. certaine X = 1, et donc aussi en loi puisque la limite est une
constante.
Cependant, P(X n = 1) = 0 pour tout entier n et donc P(X n = 1) −→ 0 quand
n −→ ∞ alors que P(X = 1) = 1. Il faut donc faire attention à l’utilisation des conditions suffisantes de convergence en loi vues au § II.E.
Exercice n°9
La lecture de la table 5 nous donne la valeur exacte du fractile d'ordre 0,95 de la loi χ
2
40 ,
soit x = 55,76 . Cependant, beaucoup de tables de fractiles de la loi du χ
2
υ s'arrêtent à
ν = 30 et donc, pour un nombre plus élevé de degrés de liberté, il faut alors utiliser l'approximation proposée dans ces tables, soit :
P(X < x) = 0,95 = P
√
2X −
√
2ν − 1 <
√
2x −
√
2ν − 1
≃
√
2x −
√
2ν − 1
où est la f.r. de la loi N (0,1). Par lecture de la table 2 des fractiles on obtient
√
2x −
√
2ν − 1 ≃ 1,6449 , soit avec ici ν = 40 : x ≃ 55,47 , valeur assez proche de
la valeur exacte.
Exercice n°10
Pour montrer que (X n ) converge en moyenne quadratique vers zéro, il faut étudier la
limite de :
E
X
2
n
=
+∞
0
x
2 ne
−nx dx =
−x
2 e
−nx +∞
0
+ 2
+∞
0
xe
−nx dx
=
−2x
e
−nx
n
+∞
0
+
2
n
+∞
0
e
−nx dx =
2
n 2 → 0
ce qui exprime par définition que :
X n →
m.q.
0
Exercice n°11
Il faut d'abord déterminer la loi de probabilité de m n :
P (m n > x) = P
n
i=1
(X i > x)
=
n
i=1
P (X i > x) = [1 − F (x)]
n
où F est la f.r. commune des variables X i ; ainsi, m n admet pour f.r. :
G n (x) = 1 − [1 − F (x)]
n
et pour densité :
g n (x) = n [1 − F (x)]
n−1 f (x) = ne
−n(x−θ)
Comportement asymptotique 193
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