F n (x) = P (Y n < x) = P (X n < nx) =
[nx]
k=1
p n (1 − p n )
k−1 = 1 − (1 − p n )
[nx]
si nx /
∈ N , avec dans ce cas nx = [nx] + α où 0 <α<1 ; on a alors :
ln [1 − F n (x)] = [nx] ln
1 −
θ
n
= (nx − α)
−
θ
n
+
ε n
n
→−θ x
Si nx ∈ N , alors :
F n (x) = P (Y n < x) = P (X n < nx) =
nx−1
k=1
p n (1 − p n )
k−1 = 1 − (1 − p n )
nx−1
et :
ln [1 − F n (x)] = (nx − 1) ln
1 −
θ
n
= (nx − 1)
−
θ
n
+
ε n
n
→−θ x
Ainsi, dans tous les cas, pour x > 0 et quand n →∞:
F n (x) → 1 − e
−θ x
la limite est la fonction de répartition sur R + de la loi exponentielle de paramètre θ , qui
est donc la loi limite de Y n .
Exercice n°7
La fonction de répartition de X n est définie par :
F n (x) =





0s i x 0
k
n + 1
si
k − 1
n
< x
k
n
, 1 k n
1s i 1 < x
Pour x 0 ou x > 1 on a F n (x) = F (x) où F est la fonction de répartition de la loi
uniforme sur [0,1] . Examinons maintenant le cas où x ∈ ]0,1] et soit k l'entier tel que
k − 1
n
< x
k
n
. La fonction F étant strictement croissante :
F
k − 1
n
< F (x) F
k
n
soit
k − 1
n
< F (x)
k
n
.
On obtient ainsi :
k
n + 1
−
k
n
F n (x) − F (x) <
k
n + 1
−
k − 1
n
ou :
−
k
n (n + 1)
F n (x) − F (x) <
n + 1 − k
n (n + 1)
Donc, pour 1 k n :
−
n
n (n + 1)
F n (x) − F (x) <
n
n (n + 1)
ce qui établit que F n (x) − F (x) → 0 quand n →∞ et donc que X n converge vers
la loi uniforme sur [0,1] .
192 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS