prime que X n converge en moyenne (d'ordre 1) vers zéro, ce qui implique d'ailleurs sa
convergence en probabilité. Enfin, E
X
2
n
= 1 donc X n ne converge pas en moyenne
quadratique vers zéro.
Exercice n°2
1) Pour tout ε>0 , P (|X n | >ε) = P (X n = n) =
1
n
→ 0 quand n →∞, donc par
définition de la convergence en probabilité :
X n →
p
0
Par ailleurs, E
X
k
n
= n
k−1 donc E (X n ) = 1 et E
X
k
n
→∞ pour tout entier
k > 1 . En particulier E
X
2
n
→∞ et donc (X n ) ne converge pas en moyenne quadratique vers zéro. Aucun moment de X n ne converge d'ailleurs vers le moment correspondant de sa limite qui est toujours égal à 0.
2) Toutes les variables Y n ont la même loi N (0,1) qu'une certaine variable Y, donc en
appliquant la propriété présentée § II, C on en déduit que la suite (X n + Y n ) converge
en loi vers Y. Cependant, V (Z n ) = V (X n ) + V (Y n ) = n − 1 + 1 = n →∞, alors
que Z n converge en loi vers la loi normale de variance 1.
Exercice n°3
On ne peut pas appliquer la loi forte des grands nombres aux variables X n car elles n'ont
pas la même loi. D'autre part, on obtient E (X n ) = 0 et V (X n ) = n donc on ne peut
pas non plus appliquer la loi faible des grands nombres car ces variables n'ont pas la
même variance.
Exercice n°4
Les variables X n ont pour f.r. :
F n (x) =
0s i x n
1s i n < x
La suite F n (x) converge pour tout x réel vers F (x) = 0 ; cependant il n'y a pas convergence en loi car F n'est pas une fonction de répartition.
Exercice n°5
La v.a. V n étant le produit de termes qui valent 1 ou – 1 ne prend aussi que les valeurs
1 et – 1. Si nous posons p n = P (V n = 1) on obtient E (V n ) = p n − (1 − p n )
= 2 p n − 1 . D'autre part, les v.a. U n étant indépendantes :
E (V n ) =
n
i=1
E (U i ) =
n
i=1
(2 p − 1) = (2 p − 1)
n
et par conséquent p n =
1
2
1 + (2 p − 1)
n
. Puisque 0 < p < 1 , on a aussi
|2 p − 1| < 1 donc p n →
1
2
quand n →∞. Ainsi la suite (V n ) converge en loi vers la
v.a. V dont la loi est définie par P (V = 1) = P (V =−1) =
1
2
.
Exercice n°6
La fonction de répartition de Y n =
X n
n
est définie pour tout x > 0 par :
Comportement asymptotique 191
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
convergence en probabilité. Enfin, E
X
2
n
= 1 donc X n ne converge pas en moyenne
quadratique vers zéro.
Exercice n°2
1) Pour tout ε>0 , P (|X n | >ε) = P (X n = n) =
1
n
→ 0 quand n →∞, donc par
définition de la convergence en probabilité :
X n →
p
0
Par ailleurs, E
X
k
n
= n
k−1 donc E (X n ) = 1 et E
X
k
n
→∞ pour tout entier
k > 1 . En particulier E
X
2
n
→∞ et donc (X n ) ne converge pas en moyenne quadratique vers zéro. Aucun moment de X n ne converge d'ailleurs vers le moment correspondant de sa limite qui est toujours égal à 0.
2) Toutes les variables Y n ont la même loi N (0,1) qu'une certaine variable Y, donc en
appliquant la propriété présentée § II, C on en déduit que la suite (X n + Y n ) converge
en loi vers Y. Cependant, V (Z n ) = V (X n ) + V (Y n ) = n − 1 + 1 = n →∞, alors
que Z n converge en loi vers la loi normale de variance 1.
Exercice n°3
On ne peut pas appliquer la loi forte des grands nombres aux variables X n car elles n'ont
pas la même loi. D'autre part, on obtient E (X n ) = 0 et V (X n ) = n donc on ne peut
pas non plus appliquer la loi faible des grands nombres car ces variables n'ont pas la
même variance.
Exercice n°4
Les variables X n ont pour f.r. :
F n (x) =
0s i x n
1s i n < x
La suite F n (x) converge pour tout x réel vers F (x) = 0 ; cependant il n'y a pas convergence en loi car F n'est pas une fonction de répartition.
Exercice n°5
La v.a. V n étant le produit de termes qui valent 1 ou – 1 ne prend aussi que les valeurs
1 et – 1. Si nous posons p n = P (V n = 1) on obtient E (V n ) = p n − (1 − p n )
= 2 p n − 1 . D'autre part, les v.a. U n étant indépendantes :
E (V n ) =
n
i=1
E (U i ) =
n
i=1
(2 p − 1) = (2 p − 1)
n
et par conséquent p n =
1
2
1 + (2 p − 1)
n
. Puisque 0 < p < 1 , on a aussi
|2 p − 1| < 1 donc p n →
1
2
quand n →∞. Ainsi la suite (V n ) converge en loi vers la
v.a. V dont la loi est définie par P (V = 1) = P (V =−1) =
1
2
.
Exercice n°6
La fonction de répartition de Y n =
X n
n
est définie pour tout x > 0 par :
Comportement asymptotique 191
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.