Exercice n°7
Soit (X n ) une suite de v.a. de loi uniforme discrète sur l'ensemble X n () =
0,
1
n
,...,
n − 1
n
,1
. Montrer que cette suite converge vers la loi uniforme sur [0,1] .
Exercice n°8
Soit (X n ) une suite de v. a. dont la loi est définie pour n ∈ N
∗ par :
P
X n = 1 −
1
n
= P
X n = 1 +
1
n
=
1
2
Étudier sa convergence en loi.
Exercice n°9
Calculer le fractile d'ordre 0,95 de la loi χ
2
40 en utilisant l'approximation de la loi de
2χ 2
υ −
√
2ν − 1 par la loi normale standard, avec ici υ = 40.
Exercice n°10
Soit X n une v.a. positive de densité f n (x) = ne
−nx pour x > 0. Montrer que la suite (X n )
converge en moyenne quadratique vers zéro.
Exercice n°11
Soit (X n ) une suite de v.a. indépendantes et de même loi, de densité f définie par :
f (x) =
e
−(x−θ)
si x >θ
0s i x θ
où θ est un nombre positif fixé. Montrer que m n = min {X 1 ,...,X n } converge en moyenne quadratique vers θ. Étudier la convergence en loi de Y n = n(m n − θ).
Exercice n°12
Soit (X n ) une suite de v. a. indépendantes et de même loi normale centrée et de
variance σ
2 . Étudier la convergence en loi des v. a. :
D n =
1
n
n
i=1
|X i | et S
2
n =
1
n
n
i=1
X
2
i
Exercice n°13
Soit (X n ) une suite de v.a. mutuellement indépendantes et de même loi de Gumbel de
densité f (x) = exp (x − e
x ) . Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
Z n = e
Xn , puis étudier la convergence en loi de la suite (Y n ), avec
Y n =−ln
1
n
n
1
e
X i
.
Corrigés
Exercice n°1
Pour tout ε>0, on obtient P (|X n | <ε) = P (X n = 0) = 1 −
1
n 2 → 1 quand
n →∞, donc par définition X n →
p
0 . D'autre part, E (|X n |) =
1
n
→ 0 ce qui ex190 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS