Énoncés
Exercice n°1
Étudier la convergence en probabilité, en moyenne, puis en moyenne quadratique de la
suite de v.a. (X n ) dont la loi de probabilité est définie pour n ∈ N
∗ par :
P (X n =−n) = P (X n = n) =
1
2n 2 et P (X n = 0) = 1 −
1
n 2
Exercice n°2
Soit (X n ) une suite de v.a. dont la loi est définie pour n ∈ N
∗ par :
P (X n = 0) = 1 −
1
n
et P (X n = n) =
1
n
1) Montrer que (X n ) converge en probabilité, mais pas en moyenne quadratique, vers
zéro quand n tend vers l'infini.
2) Soit (Y n ) une suite de v.a. de même loi N (0,1) et indépendantes des v.a. (X n ) .
Étudier la convergence en loi de Z n = X n + Y n et la limite de V (Z n ) quand n tend vers
l'infini.
Exercice n°3
Peut-on appliquer la loi des grands nombres à la suite (X n ) de v.a. mutuellement indépendantes dont la loi de probabilité est définie pour n ∈ N
∗ par :
P
X n =−
√
n
= P
X n =
√
n
=
1
2
?
Exercice n°4
Étudier la convergence en loi de la suite de v.a. certaines X n = n.
Exercice n°5
Soit (U n ) des v.a. indépendantes et de même loi définie par P (U n = 1) = p et
P (U n =−1) = q = 1 − p avec 0 < p < 1. Déterminer la loi exacte, puis la loi limite, de la suite (V n ) définie par :
V n =
n
i=1
U i
Exercice n°6
Soit (X n ) une suite de v.a. de loi géométrique de paramètre p n =
θ
n
, où θ est un
nombre strictement positif. Montrer que la suite
X n
n
converge vers la loi exponentielle de
paramètre θ .
Comportement asymptotique 189
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Exercices