B. Convergence presque complète
La convergence précédente peut être difficile à établir ; cependant, si on applique
l'inégalité de Boole, on observe que :
P
mn
(|X m − X| >ε)
∞
m=n
P {|X m − X| >ε}
et donc la convergence presque sûre sera obtenue si la série de terme général
P {|X n − X| >ε} est convergente, car le majorant est le reste de cette série. Cette
condition suffisante de convergence p.s., plus facile à établir que les conditions équivalentes de la définition, sert de définition à une convergence plus forte.
On dit que la suite (X n ) converge presque complétement sûrement vers la v.a. X si :
∀ε>0,
∞
n=1
P {|X n − X| >ε} < +∞
et on écrit :
X n →
p.co.
X, n →∞
À titre d'illustration de cette convergence, nous pouvons énoncer le théorème suivant,
énoncé sous sa forme faible dans l'exemple 6.5.
Comportement asymptotique 187
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Théorème de Glivenko-Cantelli
Si F n est la f.r. empirique associée à un échantillon d’une loi de f.r. F, alors :
sup
x∈R
|F n (x) − F (x)| →
p.co.
0, n →∞
Exemple 6.12
Considérons la suite (X n ) définie à partir d'une v.a. U de loi uniforme sur [0,1]
par :
X n =
√
ns iU
1
n
0 sinon
, n 1
et étudions sa convergence vers zéro. Pour tout ε>0 fixé, l'événement
(|X m | >ε) est équivalent à l'événement U ∈
0,
1
m
, donc :
∞
m=n
(|X m | >ε) =
∞
m=n
U ∈
0,
1
m
=
U ∈
0,
1
n
et par conséquent :
P
∞
m=n
(|X m | >ε)
= P
U ∈
0,
1
n
=
1
n
→ 0