X n →
p.s.
X
∀ε>0, lim
n
P
sup
mn
|X m − X| >ε
= 0
∀ε>0, lim
n
P
mn
(|X m − X| >ε)
= 0
∀ε>0, lim
n
P
mn
(|X m − X| <ε)
= 1
Il est facile de voir que les événements suivants sont équivalents :
mn
(|X m − X| >ε) =
sup
mn
|X m − X| >ε
et ont comme complémentaire :
mn
(|X m − X| <ε)
ce qui montre l'équivalence des trois conditions. La dernière condition exprime que, à
partir d'un certain rang N = N (ε) , tous les événements (|X n − X| <ε) pour n > N
sont réalisés avec une probabilité qui tend vers un. La première condition signifie que :
sup
mn
|X m − X| →
p
0, n →∞
et implique en particulier que |X n − X| →
p
0 , donc la convergence presque sûre est plus
forte que la convergence en probabilité :
X n →
p.s.
X ⇒ X n →
p
X
à titre d'illustration de cette convergence, nous pouvons énoncer le théorème suivant.
186 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Théorème (loi forte des grands nombres)
Si (X n ) est une suite de v.a. indépendantes et de même loi, admettant une espérance notée m, alors :
X n →
p.s.
m, n →∞