Il est bien sûr essentiel de retenir les énoncés des deux théorèmes fondamentaux de la statistique asymptotique : la loi des grands nombres et
le théorème central limite. Ceci suppose au préalable de bien connaître
également les définitions des deux convergences principales associées à
ces théorèmes : la convergence en probabilité et la convergence en loi.
La convergence en probabilité est plus forte que la convergence en loi
et se démontre généralement à partir des conditions suffisantes qui font
intervenir l'espérance et la variance des termes de la suite. Ces conditions
définissent en fait la convergence en moyenne quadratique, qui à son tour
implique la convergence en probabilité.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est parfois utile pour établir
certains résultats théoriques.
Nous allons présenter deux autres modes stochastiques de convergence, plus forts que la
convergence en probabilité, et nous énoncerons notamment la loi forte des grands
nombres.
A. Convergence presque sûre
On dit que la suite (X n ) converge presque sûrement vers la v.a. X si :
P
ω ∈ / lim
n
X n (ω) = X (ω)
= 1
et on écrit :
X n →
p.s.
X, n →∞
Cette terminologie, qui peut paraître un peu étrange, traduit le fait que la suite numérique X n (ω) converge presque partout vers X (ω) , au sens où elle converge pour tout
ω de , à l'exception d'un sous-ensemble de dont la probabilité est égale à zéro. Les
quatre propriétés suivantes, qui sont équivalentes, peuvent permettre de mieux comprendre le sens de cette convergence :
Comportement asymptotique 185
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
À retenir
Compléments