5) Loi du khi-deux
Si X suit une loi du khi-deux dont le nombre de degrés de liberté ν →∞, alors :
X − ν
√
2ν
→
loi
N (0,1)
Cependant, pour les petites valeurs de ν , on obtient une meilleure approximation en utilisant comme résultat la convergence :
√
2X −
√
2ν − 1 →
loi
N (0,1)
Exemple 6.10
Le fractile d'ordre 0,1 de la loi du khi-deux à 50 degrés de liberté a pour
valeur u = 37,7 (cf. table 5 ). Avec la première approximation, on écrit :
0,1 = P
X − ν
√
2ν
<
u − ν
√
2ν
Le fractile d'ordre 0,1 de la loi N (0,1) a pour valeur f =−1,2816 d'où
on déduit comme valeur approchée de u :10f + ν = 50 − 12,8 = 37,2 .
Pour utiliser la seconde approximation, on écrit :
0,1 = P
√
2X −
√
2ν − 1 <
√
2u −
√
2ν − 1
et on obtient cette fois
√
2u −
√
2ν − 1 ≃ f soit u ≃ 37,6 valeur plus
proche de la valeur exacte.
6) Loi de Student
Si X suit une loi de Student dont le nombre de degrés de liberté n devient infini,
alors :
X →
loi
N (0,1)
Exemple 6.11
Pour se faire une idée de l'approximation du fractile d'ordre 0,95 par
celui de la loi normale qui vaut 1,645 le tableau ci-après donne les fractiles exacts de la loi de Student en fonction de n .
184 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
n
30
40
100
200
500
1,697 1,684 1,660 1,653 1,648