P (X = k) =
N A
k
N − N A
n − k
N
n
→
n
k
p
k (1 − p)
n−k
Il y a donc convergence de cette loi hypergéométrique vers la loi binômiale
B (n, p) . L'approximation est considérée comme justifiée lorsque le rapport
n/N , appelé parfois taux de sondage, est inférieur à 10 %.
3) Loi de Poisson
Si X suit une loi de Poisson dont le paramètre λ tend vers l'infini, alors :
X − λ
√
λ
→
loi
N (0,1)
Exemple 6.9
Pour λ = 16 on lit dans la table de la loi de Poisson P (X 21)
= 0,9107 . On approxime P (X 21) = P
X − 16
√
16
5
4
par (1,25)
= 0,8944 , où est la f.r. de la loi N (0,1) , soit une assez bonne approximation malgré une valeur faible de λ.
• Correction de continuité
Nous avons ici un second exemple d'une loi discrète qui est approximée par une
loi continue. Si X est une variable à valeurs entières dont la loi est approximée
par celle de la variable continue U, on ne peut pas approximer p k = P (X = k)
par P (U = k) = 0! On remplace donc cette probabilité par la valeur approchée
P (k − 1/2 < U < k + 1/2) qui est la probabilité de l'intervalle de longueur un
qui contient l'entier k. Ainsi, P (X k) =
k
j=0
P (X = j) va être approximé par :
P (U < k + 1/2) = P (U − 1/2 < k)
L'approximation de la loi discrète de X par celle continue de U impose donc de
remplacer X par U − 1/2 dans les événements exprimés à partir de X, ce qu'on
appelle faire la correction de continuité. Dans l'exemple 6.9 précédent,
P (X 21) doit donc être approximé par P (U − 1/2 21) = (5,5/4)
= 0,9154 soit une meilleure approximation que sans la correction de continuité.
4) Loi gamma
Si X suit une loi γ ( p) avec p →∞, alors :
X − p
√ p
→
loi
N (0,1)
Comportement asymptotique 183
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