Avec X n = X/n, ceci peut encore s'écrire :
√
n
X/n − p
√ pq
= n
X/n − p
√
npq
=
X − np
√
npq
→
loi
N (0,1)
On peut donc approximer la loi binômiale B (n, p) par la loi normale
N
np,
√
npq
. On considère que l'approximation est valable pour n 30 ,
np 5 et nq 5.
Exemple 6.8
On lance 400 fois une pièce de monnaie et on veut calculer la probabilité
que la fréquence d'apparition de pile soit comprise entre 0,45 et 0,55 .
On associe à chaque lancer i,1 i n, la v.a. de Bernoulli :
X i =
1 pile(1/2)
0 face(1/2)
La variable S =
400
i=1
X i suit une loi binômiale B (400,1/2) avec
E(S) = 200 ,V(S) = 100 et σ(S) = 10 . La probabilité demandée s'écrit :
P
0,45
S
400
0,55
= P (180 S 220)
= P
−
20
10
S − 200
10
20
10
et peut être approximée à l'aide de la f.r. de la loi N (0,1) par
(2) − (−2) = 2(2) − 1 = 0,9544. Pour n = 900 on obtient
E(S) = 450,V (S) = 225 et σ(S) = 15 et la probabilité demandée
devient :
P
0,45
S
900
0,55
= P (405 S 495)
= P
−
45
15
S − 450
15
45
15
qui est approximée cette fois par 2(3) − 1 = 0,9973.
2) Loi hypergéométrique
Si X suit une loi hypergéométrique de paramètres N ,n et N A avec N →∞ et
N A /N = p qui reste fixe, on obtient par la formule de Stirling, pour tout k fixé
tel que 0 k n :
182 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS