On obtient par ailleurs V
X
k
= m 2k − m
2
k donc par application du théorème central limite à la suite
X
k
n
:
√
n
m kn − m k
m 2k − m
2
k
→
loi
N (0,1)
I. Convergence des lois usuelles
1) Loi binômiale
Soit X une v.a. de loi B (n, p) et supposons que n →∞. Nous allons considérer deux cas suivant que le second paramètre p reste fixe ou tend vers 0 avec
1/n .
a) Si p → 0 quand n →∞,avec np → λ fini, alors en utilisant la formule de
Stirling n! = n
n e
−n
√
2πn (1 + ε n ) , on montre que pour tout entier k fixé,
0 k n :
P (X = k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k → e
−λ
λ
k
k!
ce qui, d'après la condition suffisante (cf. § E) de convergence en loi, établit que
la loi binômiale B (n, p) converge vers la loi de Poisson P (λ) . C'est pourquoi
on appelle parfois la loi de Poisson loi des événements rares, puisqu'elle correspond à des événements de probabilité très faible, mais que l'on observe quand
même en raison d'un très grand nombre d'épreuves, comme par exemple le
nombre d'erreurs dans un livre ou le nombre d'accidents à un carrefour. On
considère que l'approximation est valable pour n 30 et np < 5.
Exemple 6.7
Pour p = 0,1 et n = 30 on lit dans la table 3 de la loi binômiale
P (X = 1) = 0,1413. Si on utilise la variable Y de loi de Poisson de
paramètre np = 3 on lit P (Y = 1) = 0,1494 dans la table 4, donc
valeur très proche.
b) Si p reste fixe quand n →∞, on utilise l'approximation normale en écrivant
la loi binômiale comme somme de v.a. X i indépendantes et de même loi de
Bernoulli de paramètre p : X =
n
i=1
X i . Comme E(X i ) = p et V (X i ) = pq on
déduit du théorème central limite :
√
n
X n − p
√ pq
→
loi
N (0,1)
Comportement asymptotique 181
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