H. Convergence des moments empiriques
1) Moyenne empirique
Les deux théorèmes fondamentaux de la statistique asymptotique établissent la
convergence en probabilité et en loi de la moyenne empirique.
2) Variance empirique
Au chapitre précédent, nous avons obtenu comme expression de la variance
empirique :
S
′2
n =
1
n
n
i=1
U i −
X n − m
2
en ayant posé U i = (X i − m)
2 . De la loi des grands nombres on déduit
U n →
p
E(U ) = σ
2 et
X n − m
2 →
p
0 et par conséquent :
S
′2
n →
p
σ
2 , n →∞
On obtient bien sûr le même résultat pour S
2
n = nS
′2
n /(n − 1) puisque
n/ (n − 1) → 1.
En appliquant la loi des grands nombres et le théorème central limite on
obtient :
X n − m →
p
0e t
√
n
X n − m
→
loi
N (0,σ )
ce qui implique d'après la propriété § II, C que
√
n
X n − m
2 →
loi
0 . Ainsi,
√
n
S
′2
n − σ
2
a même loi limite que
√
n
U n − σ
2
, qui est obtenue par le théorème central limite avec E(U ) = σ
2 = µ 2 et V (U ) = µ 4 − µ
2
2 :
√
n
S
′2
n − σ
2
→
loi
N
0,
µ 4 − µ
2
2
, n →∞
On a le même résultat pour S
2
n .
3) Moments empiriques
Par application de la loi des grands nombres :
m kn =
1
n
n
i=1
X
k
i →
p
E
X
k
= m k
180 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS