C'est en raison de ce théorème que la loi normale est la loi de probabilité la
plus utilisée en statistique. En effet, beaucoup de phénomènes individuels ne
sont pas symétriques et donc ne peuvent pas être modélisés par la loi normale.
Mais, dans beaucoup de situations, le phénomène étudié est la résultante d'un
grand nombre de composantes indépendantes et le théorème central limite nous
assure alors que la loi normale est tout à fait adéquate.
G. Limite d’une suite image
Nous savons qu'une application continue transporte la convergence en loi (théorème de Slutsky, § D) ; nous allons préciser ce résultat dans le cas d'une convergence vers la loi normale, comme celle obtenue par le théorème central limite.
Si une suite de v.a. (X n ) converge vers un nombre réel fixé m, avec une suite
numérique (a n ) convenablement choisie qui tend vers l'infini avec n on peut
obtenir la convergence en loi de la suite a n (X n − m) vers une loi normale centrée. La suite (g (X n )) sera alors centrée sur g (m) et équilibrée aussi par a n
pour converger vers une loi normale centrée dont l'écart type sera modifié. Voici
l'énoncé précis de cette propriété permettant de transporter un résultat de convergence en loi.
Comportement asymptotique 179
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Théorème
Si (X n ) est une suite de v.a. indépendantes et de même loi, admettant des
moments d'ordres un et deux notés m = E (X n ) et σ
2 = V (X n ) , alors :
√
n
X n − m
σ
→
loi
N (0,1)
Propriété
Si la suite (X n ) est telle que :
a n (X n − m) →
loi
N (0,σ ) , n →∞
avec a n →∞ et σ>0, alors si g est une application réelle dérivable, la
suite (g (X n )) converge aussi en loi avec :
a n [g(X n ) − g(m)] →
loi
N (0,σ |g
′ (m)|) , n →∞
plus utilisée en statistique. En effet, beaucoup de phénomènes individuels ne
sont pas symétriques et donc ne peuvent pas être modélisés par la loi normale.
Mais, dans beaucoup de situations, le phénomène étudié est la résultante d'un
grand nombre de composantes indépendantes et le théorème central limite nous
assure alors que la loi normale est tout à fait adéquate.
G. Limite d’une suite image
Nous savons qu'une application continue transporte la convergence en loi (théorème de Slutsky, § D) ; nous allons préciser ce résultat dans le cas d'une convergence vers la loi normale, comme celle obtenue par le théorème central limite.
Si une suite de v.a. (X n ) converge vers un nombre réel fixé m, avec une suite
numérique (a n ) convenablement choisie qui tend vers l'infini avec n on peut
obtenir la convergence en loi de la suite a n (X n − m) vers une loi normale centrée. La suite (g (X n )) sera alors centrée sur g (m) et équilibrée aussi par a n
pour converger vers une loi normale centrée dont l'écart type sera modifié. Voici
l'énoncé précis de cette propriété permettant de transporter un résultat de convergence en loi.
Comportement asymptotique 179
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Théorème
Si (X n ) est une suite de v.a. indépendantes et de même loi, admettant des
moments d'ordres un et deux notés m = E (X n ) et σ
2 = V (X n ) , alors :
√
n
X n − m
σ
→
loi
N (0,1)
Propriété
Si la suite (X n ) est telle que :
a n (X n − m) →
loi
N (0,σ ) , n →∞
avec a n →∞ et σ>0, alors si g est une application réelle dérivable, la
suite (g (X n )) converge aussi en loi avec :
a n [g(X n ) − g(m)] →
loi
N (0,σ |g
′ (m)|) , n →∞