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II. Convergence en loi
A. Définition
On dit que la suite de v.a. (X n ) , de f.r. F n , converge en loi vers une v.a. X de
f.r. F si la suite {F n (x)} converge vers F (x) en tout point x où F est continue ; on écrit alors :
X n →
loi
X
Les v.a. X n ont toutes des lois différentes, de f.r. notées F n , à ne pas
confondre avec la f.r. empirique associée à un échantillon de v.a. qui ont toutes
la même loi, donc la même f.r.
B. Lien avec la convergence en probabilité
Le lien entre les deux convergences que nous venons de définir est précisé par
le résultat suivant.
Comportement asymptotique 177
Théorème
La convergence en probabilité d'une suite (X n ) implique sa convergence
en loi :
X n →
p
X ⇒ X n →
loi
X
Ce résultat se conçoit intuitivement car F n (x) représente la probabilité,
associée à la loi de X n , de l'événement {X n < x} , et elle va converger vers la
probabilité correspondante associée à la loi de X. La réciproque de ce résultat est
fausse en général, mais est vraie dans le cas particulier où la limite est une v.a.
certaine X = a , c'est-à-dire quand la loi limite est une loi de Dirac, loi dégénérée concentrée en un seul point.
C. Propriété
Si (X n ) et (Y n ) sont deux suites de v.a. telles que pour n →∞ :
X n →
loi
X et Y n →
p
a