176 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Théorème
Si (X n ) est une suite de v.a. mutuellement indépendantes qui admettent les
mêmes moments d'ordres un et deux, c'est-à-dire avec pour tout entier n,
E(X n ) = m et V (X n ) = σ
2 , alors quand n →∞ :
X n →
p
m
Ce théorème est obtenu sous la condition que les v.a. X n aient mêmes
moments d'ordres un et deux, mais pas forcément même loi, et s'appelle parfois
loi faible des grands nombres. Il existe en effet une loi forte des grands nombres,
relative à une convergence plus forte que nous n'étudierons pas ici (voir compléments), qui peut s'obtenir plus logiquement sous la seule condition d'existence du moment d'ordre un, puisqu'elle concerne seulement le moment d'ordre un,
mais en renforçant par ailleurs les hypothèses, en supposant alors que les v.a. X n
ont la même loi de probabilité.
Exemple 6.6
Théorème de Bernoulli
On effectue n expériences successives indépendantes où on s'intéresse à
chaque fois à la réalisation d'un certain événement A. On associe donc à
chaque expérience i,1 i n , une variable de Bernoulli :
X i =
1
p
0 q = 1 − p
La fréquence empirique, c'est-à-dire le pourcentage de réalisations de A
est :
f n =
1
n
n
i=1
X i = X n
avec E ( f n ) = p et V ( f n ) = pq/n , d'où en appliquant l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev, pour tout ε>0 :
P (| f n − p| >ε)
pq
nε 2 → 0
ce qui établit que pour n →∞ :
f n →
p
p = P(A)
c'est-à-dire que la fréquence empirique (observée) d'un événement
converge, en probabilité, vers la fréquence théorique ou probabilité de
réalisation de cet événement quand le nombre d'expériences augmente
indéfiniment. Ce résultat, connu sous le nom de théorème de Bernoulli,
établit donc le lien entre l'expérience que l'on peut avoir des chances de
réalisation d'un événement et la définition théorique que l'on a donnée de
sa probabilité. Nous verrons dans le chapitre 7 suivant que la fréquence
empirique fournit une estimation de la probabilité d'un événement.