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Comportement asymptotique 175
Très souvent, on établit donc la convergence en moyenne quadratique pour
obtenir la convergence en probabilité, car cela se ramène à l'étude de la convergence de deux suites numériques, généralement simple à effectuer.
4) Théorème de Slutsky
Si f est une application réelle continue, alors :
X n →
p
X ⇒ f (X n ) →
p
f (X)
Ce théorème exprime donc qu'une application continue conserve la convergence en probabilité, au sens où la limite de la suite des images est l'image de la
limite de la suite. Ce résultat se généralise en deux dimensions sous la forme du
théorème suivant.
5) Théorème
Si f est une application de R
2 dans R uniformément continue et si (X n ) et
(Y n ) sont deux suites de v.a. qui convergent en probabilité respectivement
vers les v.a. X et Y , alors :
f (X n ,Y n ) →
p
f (X,Y )
Si on applique ce théorème aux fonctions f définies respectivement par
f (u,v) = u + v, f (u,v) = uv et f (u,v) =
u
v
, de X n →
p
X et Y n →
p
Y on
déduit respectivement X n + Y n →
p
X + Y,X n Y n →
p
XY et
X n
Y n
→
p
X
Y
à condition
que P (Y = 0) = 0.
E. Loi des grands nombres
Dans le chapitre précédent, nous avions vu que la moyenne empirique d'un
échantillon d'une v.a. X avait même moyenne, au sens d'espérance mathématique, m que X, mais avec une dispersion, mesurée par la variance, beaucoup
plus faible, de valeur σ
2 /n , c'est-à-dire que la variance de X était divisée par la
taille de l'échantillon. Ainsi, quand n devient infini, cette variance tend vers zéro,
assurant la convergence de la moyenne empirique vers la moyenne théorique
E(X) = m . Ce résultat s'obtient à partir de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
puisque pour tout ε>0:
P
X n − m
ε
V
X n
ε 2 =
σ
2
nε 2 → 0
ce qui permet d'énoncer le premier théorème fondamental de la statistique
asymptotique, c'est-à-dire quand la taille de l'échantillon devient infinie.