Cette probabilité converge donc vers 0 pour tout ε>0 , mais en plus très
rapidement puisqu'elle est majorée par le terme général d'une série
convergente. Il y a donc convergence uniforme de la f.r. empirique vers la
f.r. théorique, selon un mode plus fort qu'en probabilité. On peut énoncer
la forme affaiblie du théorème de Glivenko-Cantelli :
sup
x∈R
|F n (x) − F(x)| →
p
0
De cette convergence forte de la loi empirique vers la loi théorique découlent toutes les propriétés de convergence des moments empiriques associés à cette loi.
3) Convergence en moyenne d’ordre p
Les conditions suffisantes énoncées précédemment permettent en fait d'établir
une convergence plus forte que la convergence en probabilité, qui est la convergence en moyenne quadratique, cas particulier de la convergence en moyenne
d'ordre p que nous définissons pour cette raison.
174 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Définition
On dit que la suite de v.a. (X n ) converge en moyenne d'ordre p,a v e c
0 < p < ∞ , vers la v.a. X si :
E |X n − X|
p → 0 quand n →∞
On écrit :
X n →
Mp
X
Dans le cas particulier p = 2 , la convergence en moyenne d'ordre 2 s'appelle
convergence en moyenne quadratique. En écrivant E (X n − X)
2 =
V (X n − X) + E
2 (X n − X) qui est la somme de deux termes positifs, on
retrouve les conditions suffisantes de convergence en probabilité comme conditions nécessaires de convergence en moyenne quadratique :
X n →
m.q.
X ⇔
E (X n − X) → 0
V (X n − X) → 0
Pour toute valeur de p > 0, la convergence en moyenne d'ordre p est plus
forte que la convergence en probabilité, au sens où :
X n →
Mp
X ⇒ X n →
p
X
et donc en particulier :
X n →
m.q.
X ⇒ X n →
p
X