2) Conditions suffisantes de convergence en probabilité
Dans l'exemple 6.4 précédent, on a pu établir sans trop de difficultés la convergence de la suite (X n ) , à partir de la définition. Cependant, pour des lois plus
complexes il peut être difficile d'obtenir l'expression de la probabilité permettant
d'établir cette convergence. Nous allons maintenant fournir un moyen plus
simple de démontrer cette convergence, à partir des deux premiers moments de
X n .
Comportement asymptotique 173
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Si (X n ) est une suite de v.a. telle que :
E (X n ) → a
V (X n ) → 0
quand n →∞, alors :
X n →
p
a
En fait, on peut énoncer un résultat plus général que celui qui s'applique à la
convergence vers un nombre réel a en l'appliquant à la suite (Y n ) définie par
Y n = X n − X , avec (X n ) qui converge vers la v.a. X, puisque Y n →
p
0
⇔ X n →
p
X . Les conditions suffisantes pour la suite (X n ) deviennent alors :
E (X n − X) → 0
V (X n − X) → 0
quand n →∞, et impliquent :
X n →
p
X
Exemple 6.5
Nous avons vu dans le chapitre précédent que pour tout x réel fixé on
avait E [F n (x)] = F(x) et V [F n (x)] = F(x) [1 − F(x)] /n → 0,d o n c
ces conditions suffisantes permettent d'établir la convergence ponctuelle
de la fonction de répartition empirique vers la fonction de répartition
théorique :
F n (x) →
p
F(x).
En réalité, on peut établir qu'il existe une constante universelle C telle
que :
P
sup
x∈R
|F n (x) − F(x)| >ε
Ce
−2nε 2