Exemple 6.3
Si on applique cette inégalité à g(t) = t
2 on obtient E
2 (X) E
X
2
,
résultat bien connu par ailleurs puisqu'il traduit que la variance est positive : V (X) = E
X
2
− E
2 (X) 0.
D. Convergence en probabilité
Si (X n ) est une suite de v.a. qui converge vers une v.a. X, cela signifie que X n
se « rapproche » de X quand n augmente. On mesure la distance entre X n et X
par |X n − X| qui sera d'autant plus petite que n sera grand ; mais, s'agissant de
v.a., il faut considérer l'événement |X n − X| <ε qui sera réalisé avec une probabilité d'autant plus élevée que n sera grand. On va donc associer à la suite aléatoire (X n ) la suite numérique des probabilités de ces événements, qui devra
converger vers un. Ceci conduit à la définition suivante.
1) Définition
On dit que la suite de v.a. (X n ) converge en probabilité vers une v.a. X si, pour
tout ε>0:
P (|X n − X| <ε) → 1 quand n →∞
ou, de façon équivalente :
P (|X n − X| >ε) → 0 quand n →∞
On écrit :
X n →
p
X
Exemple 6.4
Soit (U n ) une suite de v.a. indépendantes, de même loi uniforme sur [0,1] ;
on lui associe la suite (X n ) définie pour tout entier n par
X n = min {U 1 ,...,U n } . Nous allons établir que :
X n →
p
0 quand n →∞
Pour cela, nous allons calculer, pour un ε>0 fixé, la probabilité
P (|X n | >ε) qui est égale à P (X n >ε) puisque X n est une variable
positive. Cette dernière probabilité est nulle pour ε 1 , donc il suffit de
considérer le cas ε<1. Toutes les v.a. U n étant indépendantes, de même
loi que U avec P (U < x) = x pour 0 x 1 , on obtient :
P (|X n | >ε) = P
n
i=1
(U i >ε)
=
n
i=1
P (U i >ε) = [1 − P (U <ε)]
n
= (1 − ε)
n → 0
qui exprime bien que (X n ) converge en probabilité vers 0.
172 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS