I. Convergence en probabilité
La définition de la convergence en probabilité fait intervenir une suite numérique de probabilités dont la convergence sera souvent établie grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui lie une probabilité et une variance. Avant de
donner la définition de cette convergence stochastique et d'en étudier les propriétés, nous allons donc au préalable présenter quelques inégalités qui seront
utiles par la suite dans l'établissement de certaines de ces propriétés.
A. Inégalité de Markov
Si X est une v.a. positive dont l'espérance existe, l'inégalité de Markov établit
que pour tout λ>0 :
P {X λE(X)}
1
λ
ou P (X λ)
E(X)
λ
On peut remarquer que sous sa première forme cette inégalité est sans intérêt pour λ 1 puisqu'alors le majorant de la probabilité est supérieur à un. Cette
inégalité présente bien sûr essentiellement un intérêt théorique, utile pour certaines démonstrations ; sa portée pratique est limitée par sa généralité, le majorant étant indépendant de la loi, sa valeur numérique sera souvent très supérieure à la valeur exacte de la probabilité.
Exemple 6.1
Pour λ = 2 l'inégalité de Markov s'écrit P (X 2E(X)) 0,5 ; dans le
cas particulier de la loi exponentielle E (1) on obtient P (X 2) = e
−2
= 0,135, valeur très sensiblement inférieure au majorant.
Dans le cas d'une v.a. de signe quelconque, on adapte la seconde forme de
l'inégalité de Markov en l'appliquant à |X|
k , pour tout k tel que E|X|
k existe :
P
|X|
k λ
E|X|
k
λ
On introduit alors un nombre ε>0 tel que ε
k = λ et on en déduit pour tout
ε>0:
P (|X| ε)
E|X|
k
ε k
170 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS