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6. Comportement
asymptotique
L
es moments empiriques associés à un échantillon nous renseignent
sur la loi théorique. Par ailleurs, la taille d'un échantillon et la quantité d'information apportée par celui-ci sont bien sûr liées, de telle
sorte que, si cette taille augmente, l'information sur la loi parente P de X
augmente aussi, ce qui doit se traduire par une plus grande « proximité »
entre la loi empirique P n et la loi théorique P. Cette notion intuitive de
plus grande proximité d'un terme d'une suite aléatoire, avec un terme
fixe, aléatoire ou non, demande à être traduite et définie de façon rigoureuse. Nous allons donc étudier dans ce chapitre le comportement asymptotique d'une suite de v.a. X 1 ,... , X n quand n devient infini. Nous définirons essentiellement deux convergences stochastiques, parmi les nombreuses existantes, la convergence en probabilité et la convergence en
loi. Cependant, nous évoquerons aussi la convergence en moyenne quadratique car elle implique la convergence en probabilité et est généralement plus facile à établir que cette dernière, étant liée au comportement
des deux premiers moments qui forment des suites non aléatoires. À ces
deux types principaux de convergence seront associés les deux théorèmes
fondamentaux de la statistique asymptotique, la loi des grands nombres
et le théorème central limite, qui précisent le comportement asymptotique de la moyenne empirique d'un échantillon.
Comportement asymptotique 169
Objectif du chapitre : présenter les deux théorèmes fondamentaux de la
statistique asymptotique, la loi des grands nombres et le théorème central limite, associés aux deux modes principaux de
convergence, la convergence en loi et la convergence en probabilité.
Concepts clés étudiés : inégalité de Bienaymé-Tchebychev, convergence
en probabilité, convergence en moyenne quadratique, loi des
grands nombres, convergence en loi, théorème central limite.
6. Comportement
asymptotique
L
es moments empiriques associés à un échantillon nous renseignent
sur la loi théorique. Par ailleurs, la taille d'un échantillon et la quantité d'information apportée par celui-ci sont bien sûr liées, de telle
sorte que, si cette taille augmente, l'information sur la loi parente P de X
augmente aussi, ce qui doit se traduire par une plus grande « proximité »
entre la loi empirique P n et la loi théorique P. Cette notion intuitive de
plus grande proximité d'un terme d'une suite aléatoire, avec un terme
fixe, aléatoire ou non, demande à être traduite et définie de façon rigoureuse. Nous allons donc étudier dans ce chapitre le comportement asymptotique d'une suite de v.a. X 1 ,... , X n quand n devient infini. Nous définirons essentiellement deux convergences stochastiques, parmi les nombreuses existantes, la convergence en probabilité et la convergence en
loi. Cependant, nous évoquerons aussi la convergence en moyenne quadratique car elle implique la convergence en probabilité et est généralement plus facile à établir que cette dernière, étant liée au comportement
des deux premiers moments qui forment des suites non aléatoires. À ces
deux types principaux de convergence seront associés les deux théorèmes
fondamentaux de la statistique asymptotique, la loi des grands nombres
et le théorème central limite, qui précisent le comportement asymptotique de la moyenne empirique d'un échantillon.
Comportement asymptotique 169
Objectif du chapitre : présenter les deux théorèmes fondamentaux de la
statistique asymptotique, la loi des grands nombres et le théorème central limite, associés aux deux modes principaux de
convergence, la convergence en loi et la convergence en probabilité.
Concepts clés étudiés : inégalité de Bienaymé-Tchebychev, convergence
en probabilité, convergence en moyenne quadratique, loi des
grands nombres, convergence en loi, théorème central limite.