166 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
XN i
np i
[530,540[
14
13
[540,545[
15
18,5
[545,550[
29
30
[550,555[
40
38,5
[555,560[
37
38,5
[560,565[
27
30
[565,570[
20
18,5
[570,580[
18
13
La distance entre ces deux distributions a pour valeur :
D n =
(12 − 15)
2
15
+
(15 − 12)
2
12
+
(8 − 6)
2
6
+
(73 − 75)
2
75
= 2,07
Le fractile d'ordre 0,95 de la loi du khi-deux à 4 − 1 = 3 degrés de liberté a pour valeur
7,8 donc on accepte l'hypothèse de l'équilibre de ces dés, en prenant comme risque de
première espèce α = 0,05.
Exercice n°5
On calcule les effectifs théoriques np i arrondis à partir des probabilités de la loi de
Poisson P (2) . Pour obtenir des effectifs suffisants on doit regrouper les deux dernières
classes ; on obtient le tableau suivant :
On obtient d (F n ,F) = 1,49 valeur qui est inférieure au fractile d'ordre 0,95 de la loi
χ
2
4 qui vaut C = 9,49 donc on accepte l'hypothèse que ces observations forment un
échantillon d'une loi de Poisson P (2) .
Exercice n°6
Les données étant regroupées en classes, on effectue le test du khi-deux en calculant les
effectifs théoriques np i où n = 200 et p i = P (X ∈ [a i ,a i+1 [) se calcule à partir de la
f.r. de la loi N (0,1) en centrant et réduisant les observations. Par exemple :
P (560 X < 565) = P
5
10
X − 555
10
<
10
10
= (1) − (0,5) = 0,1498
et 200 × 0,1498 = 29,96 est arrondi à 30. Les classes extrêmes [530,540[ et
[570,580[ sont assimilées respectivement aux classe ]−∞,540[ et [570,+∞[ .
Le calcul de la distance du khi-deux se fait à partir du tableau suivant :
. x i
0 1 2 3 4 ou plus
N i
5 10 7 4
4
np i
4 8 8 5,5
4,5
On obtient d (F n ,F) = 3,23 que l'on compare au fractile d'ordre 0,95 de la loi χ
2
7 qui
vaut C = 14,07 . On accepte donc l'hypothèse de données provenant d'une loi
N (555,10) , donc d'une loi dont la moyenne est inférieure de 5 g à la valeur indiquée
sur la boîte.
XN i
np i
[530,540[
14
13
[540,545[
15
18,5
[545,550[
29
30
[550,555[
40
38,5
[555,560[
37
38,5
[560,565[
27
30
[565,570[
20
18,5
[570,580[
18
13
La distance entre ces deux distributions a pour valeur :
D n =
(12 − 15)
2
15
+
(15 − 12)
2
12
+
(8 − 6)
2
6
+
(73 − 75)
2
75
= 2,07
Le fractile d'ordre 0,95 de la loi du khi-deux à 4 − 1 = 3 degrés de liberté a pour valeur
7,8 donc on accepte l'hypothèse de l'équilibre de ces dés, en prenant comme risque de
première espèce α = 0,05.
Exercice n°5
On calcule les effectifs théoriques np i arrondis à partir des probabilités de la loi de
Poisson P (2) . Pour obtenir des effectifs suffisants on doit regrouper les deux dernières
classes ; on obtient le tableau suivant :
On obtient d (F n ,F) = 1,49 valeur qui est inférieure au fractile d'ordre 0,95 de la loi
χ
2
4 qui vaut C = 9,49 donc on accepte l'hypothèse que ces observations forment un
échantillon d'une loi de Poisson P (2) .
Exercice n°6
Les données étant regroupées en classes, on effectue le test du khi-deux en calculant les
effectifs théoriques np i où n = 200 et p i = P (X ∈ [a i ,a i+1 [) se calcule à partir de la
f.r. de la loi N (0,1) en centrant et réduisant les observations. Par exemple :
P (560 X < 565) = P
5
10
X − 555
10
<
10
10
= (1) − (0,5) = 0,1498
et 200 × 0,1498 = 29,96 est arrondi à 30. Les classes extrêmes [530,540[ et
[570,580[ sont assimilées respectivement aux classe ]−∞,540[ et [570,+∞[ .
Le calcul de la distance du khi-deux se fait à partir du tableau suivant :
. x i
0 1 2 3 4 ou plus
N i
5 10 7 4
4
np i
4 8 8 5,5
4,5
On obtient d (F n ,F) = 3,23 que l'on compare au fractile d'ordre 0,95 de la loi χ
2
7 qui
vaut C = 14,07 . On accepte donc l'hypothèse de données provenant d'une loi
N (555,10) , donc d'une loi dont la moyenne est inférieure de 5 g à la valeur indiquée
sur la boîte.