Exercice n°7
Peut-on accepter l'hypothèse que les données suivantes proviennent d'une loi
N (1,5 ; 1) ?
2,51 ; 1,45 ; 0,71 ; 0,25 ; 2,35 ; 0,00 ; 2,06 ; 1,95 ; 0,41 ; 2,75 ; 0,78 ; 1,01 ; 1,75 ; 2,32 ; 1,36.
Corrigés
Exercice n°1
La table 6 fournit la valeur 1,316 dans la colonne 0,90 et, du fait de la symétrie de cette
loi, le fractile d'ordre 0,05 est obtenu dans la colonne 0,95 en changeant le signe, soit
– 1,708.
Exercice n°2
La table 7 ne comporte pas le couple de degrés de liberté (30, 20) mais comporte le
couple (20, 30) ; nous allons voir comment nous y ramener. Par définition, la loi F(n,m)
est la loi du rapport U =
X/n
Y/m
où X et Y suivent des lois du khi-deux à respectivement
n et m degrés de liberté. Par conséquent
1
U
=
Y/m
X/n
suit une loi de Fisher-Snedecor
F(m,n). La valeur u cherchée est définie par : 0,05 = P(U < u) = P (1/U > 1/u) ,
avec U de loi F(30,20) , ou P(1/U < 1/u) = 0,95 donc 1/u est le fractile d'ordre
0,95 de la loi F(20,30), valeur lue dans la table 7, soit 1/u = 1,93 et u = 0,518.
Exercice n°3
Si la répartition des entiers est uniforme, chaque entier x i a la même probabilité
p i = 1/10 et tous les effectifs théoriques ont la même valeur np i = 1 000. On calcule
la distance du khi-deux d (F n ,F) = 9,37 que l'on compare au seuil critique
C = 16,92 associé au risque α = 0,05. Même pour un risque plus élevé α = 0,10 le
fractile d'ordre 0,90 de la loi χ
2
9 est C = 14,68 et on accepte encore l'hypothèse d'une
répartition uniforme de ces entiers.
Exercice n°4
Tester l'équilibre de cet ensemble de deux dés revient à tester l'adéquation de la loi empirique avec la loi théorique en cas d'équilibre. Comme seulement trois valeurs de la
somme S sont données, on va regrouper toutes les autres valeurs possibles. Les 4 valeurs
théoriques retenues sont donc :
p 1 = P (S = 6) =
5
36
, p 2 = P (S = 9) =
4
36
, p 3 = P (S = 11) =
2
36
,
p 4 = 1 − p 1 − p 2 − p 3 =
25
36
On peut donc constituer le tableau de comparaison des distributions empirique et théorique :
Loi empirique 165
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
x i
6
9
11 autre
n i
12
15
8
73
np i
15
12
6
75
Peut-on accepter l'hypothèse que les données suivantes proviennent d'une loi
N (1,5 ; 1) ?
2,51 ; 1,45 ; 0,71 ; 0,25 ; 2,35 ; 0,00 ; 2,06 ; 1,95 ; 0,41 ; 2,75 ; 0,78 ; 1,01 ; 1,75 ; 2,32 ; 1,36.
Corrigés
Exercice n°1
La table 6 fournit la valeur 1,316 dans la colonne 0,90 et, du fait de la symétrie de cette
loi, le fractile d'ordre 0,05 est obtenu dans la colonne 0,95 en changeant le signe, soit
– 1,708.
Exercice n°2
La table 7 ne comporte pas le couple de degrés de liberté (30, 20) mais comporte le
couple (20, 30) ; nous allons voir comment nous y ramener. Par définition, la loi F(n,m)
est la loi du rapport U =
X/n
Y/m
où X et Y suivent des lois du khi-deux à respectivement
n et m degrés de liberté. Par conséquent
1
U
=
Y/m
X/n
suit une loi de Fisher-Snedecor
F(m,n). La valeur u cherchée est définie par : 0,05 = P(U < u) = P (1/U > 1/u) ,
avec U de loi F(30,20) , ou P(1/U < 1/u) = 0,95 donc 1/u est le fractile d'ordre
0,95 de la loi F(20,30), valeur lue dans la table 7, soit 1/u = 1,93 et u = 0,518.
Exercice n°3
Si la répartition des entiers est uniforme, chaque entier x i a la même probabilité
p i = 1/10 et tous les effectifs théoriques ont la même valeur np i = 1 000. On calcule
la distance du khi-deux d (F n ,F) = 9,37 que l'on compare au seuil critique
C = 16,92 associé au risque α = 0,05. Même pour un risque plus élevé α = 0,10 le
fractile d'ordre 0,90 de la loi χ
2
9 est C = 14,68 et on accepte encore l'hypothèse d'une
répartition uniforme de ces entiers.
Exercice n°4
Tester l'équilibre de cet ensemble de deux dés revient à tester l'adéquation de la loi empirique avec la loi théorique en cas d'équilibre. Comme seulement trois valeurs de la
somme S sont données, on va regrouper toutes les autres valeurs possibles. Les 4 valeurs
théoriques retenues sont donc :
p 1 = P (S = 6) =
5
36
, p 2 = P (S = 9) =
4
36
, p 3 = P (S = 11) =
2
36
,
p 4 = 1 − p 1 − p 2 − p 3 =
25
36
On peut donc constituer le tableau de comparaison des distributions empirique et théorique :
Loi empirique 165
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
x i
6
9
11 autre
n i
12
15
8
73
np i
15
12
6
75