Les valeurs extrêmes sont X (1) , de f.r. définie par G 1 (x) = 1 − [1 − F (x)]
n ,d e
densité g 1 (x) = nf (x) [1 − F (x)]
n−1 , et X (n) , de f.r. définie par G n (x) = F
n (x) ,
de densité g n (x) = nf (x) F
n−1 (x) .
La loi de l'étendue (range) W n = X (n) − X (1) se déduit de la loi du couple
X (1) ,X (n)
, de f.r. définie pour x < y par :
G 1n (x,y) = F
n (x) − [F (y) − F (x)]
n
au moyen du changement de variable x = x et w = y − x . On obtient comme f.r. pour
w>0 :
H (w) = n
R
[F (x + w) − F (x)]
n−1 f (x) dx
et comme densité :
h (w) = n (n − 1)
R
[F (x + w) − F (x)]
n−2 f (x + w) f (x) dx
Si le support de la loi est R , l'expression des f.r. des valeurs extrêmes montre que :
X (1) →
p.co.
−∞ et X (n) →
p.co.
+∞
Si le support est l'intervalle (a,b) on obtient de même :
X (1) →
p.co.
a et X (n) →
p.co.
b
Si la loi admet une espérance, on établit également que :
X (1)
n
→
p
0e t
X (n)
n
→
p
0
(voir le chapitre 6 pour la définition de ces convergences).
Pour obtenir la loi de X (k) , 1 < k < n, il suffit de remarquer que le nombre N n (x)
de variables de l'échantillon qui sont inférieures au réel x vérifie :
N n (x) k ⇔ X (k) < x
Comme N n (x) B (n,F (x)) on en déduit la f.r. G k de X (k) définie par :
G k (x) =
n
j=k
n
j
F
j (x) [1 − F (x)]
n− j
et sa densité peut être obtenue de façon « intuitive » comme probabilité qu'un élément de
l'échantillon soit compris entre x et x + dx, soit f (x) , que k − 1 soient situés avant x,
soit F
k−1 (x) , que n − k soient situés après x, soit [1 − F (x)]
n−k , avec un nombre de
permutations n! des variables de l'échantillon qui doit être divisé par le nombre (k − 1)!
de variables avant et (n − k)! de variables après, soit :
g k (x) =
n!
(k − 1)! (n − k!)
F
k−1 (x) [1 − F (x)]
n−k f (x)
162 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS