A. Statistique d’ordre
La statistique d'ordre associe à un échantillon (X 1 ,. . . ,X n ) d'une loi de f.r. F et de densité f, les observations classées par ordre croissant : X (1) ... X (n) . Elle a pour densité :
n!1 Cn (x 1 ,...,x n )
n
i=1
f (x i )
où C n = {(x 1 ,...,x n ) /x 1 < ... < x n } .
On lit dans les deux dernières colonnes du tableau les valeurs maximales
d
+ (F n ,F) = 0,1794 et d
+ (F,F n ) = 0,2521 d'où on déduit d (F n ,F) =
0,2521 . Pour un risque α = 0,10 on lit dans la table 5.1, pour n = 15,
le seuil critique C = 0,304 donc on accepte l'hypothèse d'une loi parente
N (0,1) , bien que la valeur de la distance soit proche du seuil de rejet de
cette hypothèse.
Loi empirique 161
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
À retenir
Un échantillon d'une loi P, ou d'une v.a. X, est un ensemble de v.a. indépendantes et de même loi P, ou de même loi que la v.a. X.
La loi uniforme qui attribue la même probabilité
1
n
à chacune des n
observations d'un échantillon est appelée loi empirique et ses moments,
moments empiriques. On étudie plus particulièrement la moyenne et la
variance empiriques. Les moments empiriques sont des fonctions de
l'échantillon, donc à ce titre sont aussi des v.a. qui admettent des moments
théoriques.
À partir de la fonction de répartition empirique on peut effectuer un test
permettant de savoir si on peut retenir pour le modèle théorique une certaine loi de probabilité donnée. Dans le cas de données discrètes ou regroupées en classes, on utilise comme test d'ajustement le test du khi-deux. Pour
des données individuelles issues d'une loi continue, il est préférable d'utiliser le test d'adéquation de Kolmogorov-Smirnov.
Compléments
La statistique d'ordre associe à un échantillon (X 1 ,. . . ,X n ) d'une loi de f.r. F et de densité f, les observations classées par ordre croissant : X (1) ... X (n) . Elle a pour densité :
n!1 Cn (x 1 ,...,x n )
n
i=1
f (x i )
où C n = {(x 1 ,...,x n ) /x 1 < ... < x n } .
On lit dans les deux dernières colonnes du tableau les valeurs maximales
d
+ (F n ,F) = 0,1794 et d
+ (F,F n ) = 0,2521 d'où on déduit d (F n ,F) =
0,2521 . Pour un risque α = 0,10 on lit dans la table 5.1, pour n = 15,
le seuil critique C = 0,304 donc on accepte l'hypothèse d'une loi parente
N (0,1) , bien que la valeur de la distance soit proche du seuil de rejet de
cette hypothèse.
Loi empirique 161
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
À retenir
Un échantillon d'une loi P, ou d'une v.a. X, est un ensemble de v.a. indépendantes et de même loi P, ou de même loi que la v.a. X.
La loi uniforme qui attribue la même probabilité
1
n
à chacune des n
observations d'un échantillon est appelée loi empirique et ses moments,
moments empiriques. On étudie plus particulièrement la moyenne et la
variance empiriques. Les moments empiriques sont des fonctions de
l'échantillon, donc à ce titre sont aussi des v.a. qui admettent des moments
théoriques.
À partir de la fonction de répartition empirique on peut effectuer un test
permettant de savoir si on peut retenir pour le modèle théorique une certaine loi de probabilité donnée. Dans le cas de données discrètes ou regroupées en classes, on utilise comme test d'ajustement le test du khi-deux. Pour
des données individuelles issues d'une loi continue, il est préférable d'utiliser le test d'adéquation de Kolmogorov-Smirnov.
Compléments