On calcule au préalable les statistiques :
d
+ (F n ,F) = sup
x∈R
[F n (x) − F(x)] = max
1in
i
n
− F
X (i)
d
+ (F,F n ) = sup
x∈R
[F(x) − F n (x)] = max
1in
F
X (i)
−
i − 1
n
car F n est constante sur chacun des intervalles délimités par les points de
l'échantillon ordonné :
sup
x∈]X (i) ,X (i+1) ]
[F n (x) − F(x)] =
i
n
−
inf
X (i) F(x) =
i
n
− F
X (i) + 0
=
i
n
− F
X (i)
On calcule ensuite :
d (F n ,F) = max {d
+ (F n ,F) ,d
+ (F,F n )}
Exemple 5.4
On se pose la question de savoir si les données suivantes peuvent provenir d'une loi normale centrée et réduite :
6,42;−5,23;−1,25; 0,12;−0,01;−1,02; 18,54; 0,06;−7,64; 2,85;
−1,84; 0,74;−0,65; 0,24
Disposant des données individuelles, nous allons utiliser le test de
Kolmogorov-Smirnov et pour cela ordonner les observations par valeurs
croissantes x (i) puis calculer les valeurs
x (i)
à l'aide de la f.r. de la
loi N (0,1) . Les valeurs permettant le calcul de la distance entre loi empirique et loi théorique figurent dans le tableau suivant :
160 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
x (i)
x (i)
i
n
−
x (i)
x (i)
−
i − 1
n
– 7,64
0
0,0667
0
– 5,23
0
0,1333
– 0,0667
– 1,84
0,0329
0,1671
– 0,1004
– 1,25
0,1056
0,1611
– 0,0944
– 1,02
0,1539
0,1794
– 0,1128
– 0,65
0,2578
0,1422
– 0,0755
– 0,01
0,4960
– 0,0293
0,0960
0,06
0,5239
0,009
0,0572
0,12
0,5478
0,0616
0,0145
0,24
0,5948
0,0719
– 0,005
0,74
0,7704
– 0,0371
0,1037
2,18
0,9854
– 0,1854
0,2521
2,85
0,9978
– 0,1311
0,1978
6,42
1
– 0,0667
0,1333
28,54
1
0
0,0667