On obtient comme distance :
d (F n ,F) =
1
10
(0 + 4 + 1 + 16 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 0) = 3,2
le fractile d'ordre 0,95 de la loi du khi-deux à neuf degrés de liberté est
C = 16,9 donc la valeur de la distance est très inférieure et on peut
accepter l'hypothèse d'une répartition uniforme.
Cependant, dans beaucoup de cas, si le type de loi est précisé, la loi dépend
de paramètres dont la valeur n'est pas spécifiée et qu'il va falloir estimer pour
pouvoir calculer les fréquences théoriques p i . Si on doit estimer r paramètres,
cela diminue d'autant le nombre de degrés de liberté qui devient alors n − 1 − r.
Exemple 5.3
On a observé pendant deux heures le nombre de voitures arrivées par
minute à un poste de péage. Si X est la v.a. représentant le nombre de voitures arrivant dans une minute à ce poste de péage, on fait l'hypothèse
qu'elle suit une loi de Poisson. Le tableau ci-après contient les valeurs
observées x i de cette variable et le nombre d'observations correspondantes N i . Pour calculer les probabilités théoriques p i = P (X = x i ) il
faut spécifier complétement la loi, c'est-à-dire indiquer le paramètre de
cette loi de Poisson. Le calcul de la moyenne empirique donne x = 3,7 et
la variance empirique a pour valeur 4,41. On retient alors la valeur entière 4 comme paramètre de cette loi de Poisson. Les valeurs de np i sont
alors obtenues par lecture de la table 4 et arrondies à l'entier le plus
proche, en vérifiant bien que le total est égal à n = 120 ; par exemple
nP (X = 3) = 120 × 0,1954 = 23,448 est arrondi à 23.
158 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
x i
0 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11
N i 4 9 24 25 22 18 6 5 3 2 1 1
np i 2 9 18 23 23 19 13 7 3 2 1 0
Les valeurs des effectifs théoriques inférieures à 5 nécessitent de regrouper les deux premières et les quatre dernières valeurs, ramenant à 8 le
nombre de valeurs retenues, soit 8 − 1 − 1 = 6 degrés de liberté puisqu'un paramètre a été estimé. Le fractile d'ordre 0,95 de la loi du khi-deux
à 6 degrés de liberté est C = 12,6 . On obtient d (F n ,F) = 7,14 ce qui
conduit donc à accepter l'hypothèse que X suit une loi de Poisson de paramètre 4.
d (F n ,F) =
1
10
(0 + 4 + 1 + 16 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 0) = 3,2
le fractile d'ordre 0,95 de la loi du khi-deux à neuf degrés de liberté est
C = 16,9 donc la valeur de la distance est très inférieure et on peut
accepter l'hypothèse d'une répartition uniforme.
Cependant, dans beaucoup de cas, si le type de loi est précisé, la loi dépend
de paramètres dont la valeur n'est pas spécifiée et qu'il va falloir estimer pour
pouvoir calculer les fréquences théoriques p i . Si on doit estimer r paramètres,
cela diminue d'autant le nombre de degrés de liberté qui devient alors n − 1 − r.
Exemple 5.3
On a observé pendant deux heures le nombre de voitures arrivées par
minute à un poste de péage. Si X est la v.a. représentant le nombre de voitures arrivant dans une minute à ce poste de péage, on fait l'hypothèse
qu'elle suit une loi de Poisson. Le tableau ci-après contient les valeurs
observées x i de cette variable et le nombre d'observations correspondantes N i . Pour calculer les probabilités théoriques p i = P (X = x i ) il
faut spécifier complétement la loi, c'est-à-dire indiquer le paramètre de
cette loi de Poisson. Le calcul de la moyenne empirique donne x = 3,7 et
la variance empirique a pour valeur 4,41. On retient alors la valeur entière 4 comme paramètre de cette loi de Poisson. Les valeurs de np i sont
alors obtenues par lecture de la table 4 et arrondies à l'entier le plus
proche, en vérifiant bien que le total est égal à n = 120 ; par exemple
nP (X = 3) = 120 × 0,1954 = 23,448 est arrondi à 23.
158 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
x i
0 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11
N i 4 9 24 25 22 18 6 5 3 2 1 1
np i 2 9 18 23 23 19 13 7 3 2 1 0
Les valeurs des effectifs théoriques inférieures à 5 nécessitent de regrouper les deux premières et les quatre dernières valeurs, ramenant à 8 le
nombre de valeurs retenues, soit 8 − 1 − 1 = 6 degrés de liberté puisqu'un paramètre a été estimé. Le fractile d'ordre 0,95 de la loi du khi-deux
à 6 degrés de liberté est C = 12,6 . On obtient d (F n ,F) = 7,14 ce qui
conduit donc à accepter l'hypothèse que X suit une loi de Poisson de paramètre 4.