théoriques sont calculées à partir de la loi théorique postulée :
p i = P {X ∈ (a i ,a i+1 )} = F(a i+1 ) − F(a i )
Si N i est le nombre (aléatoire) d'observations x i , ou appartenant à la classe
(a i ,a i+1 ) , nous allons le comparer à l'effectif théorique qui est np i . La distance
euclidienne classique entre F n , représentée par les k effectifs observés N i , et la
f.r. F, représentée par les k effectifs théoriques np i , serait
k
i=1
(N i − np i )
2 .
Cependant, comme cette distance ne permet pas de déterminer la loi asymptotique de cette v.a., on préfère retenir une autre distance. Cette dernière sera
déterminée à partir de la remarque que les v.a. N i suivent des lois binômiales de
paramètres n et p i et que les variables centrées (N i − np i ) /
√
np i convergent
vers vers la loi N
0,
√
1 − p i
. On retient donc la distance :
d (F n ,F) =
k
i=1
(N i − np i )
2
np i
et cette somme de carrés de v.a. centrées qui sont asymptotiquement normales
et liées par la relation
k
i=1
(N i − np i ) = 0 converge vers une loi χ
2
k−1 . La valeur
de C est alors déterminée approximativement, en utilisant cette loi asymptotique, comme le fractile d'ordre 1 − α de la loi du khi-deux à k − 1 degrés de
liberté. Cette approximation est justifiée si n est assez grand et p i pas trop petit,
avec comme règle empirique np i 5 . Si ce n'est pas le cas à cause d'une valeur
de p i trop petite on doit regrouper des classes (ou des valeurs) contiguës. Pour
le calcul de la distance, il est préférable d'utiliser la formule développée :
d (F n ,F) =
k
i=1
N i
2
np i
− n
Exemple 5.2
Ayant demandé à dix personnes de fournir chacune dix chiffres choisis au
hasard, on souhaite savoir si effectivement les cent chiffres obtenus forment bien une distribution au hasard. L'hypothèse à tester ici est donc
celle d'une loi uniforme discrète sur l'ensemble des dix chiffres
{0,1,...,9} , donc avec des probabilités égales pour chacune de ces
valeurs, p i = 1/10 pour i = 0,1,...,9. Le tableau ci-après contient la
distribution empirique (observée) sur la deuxième ligne et la distribution
théorique sur la troisième.
Loi empirique 157
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
x i
0 1 2 3
4 5 6 7 8 9
N i 10 8 9 14 8 9 11 9 12 10
np i 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
p i = P {X ∈ (a i ,a i+1 )} = F(a i+1 ) − F(a i )
Si N i est le nombre (aléatoire) d'observations x i , ou appartenant à la classe
(a i ,a i+1 ) , nous allons le comparer à l'effectif théorique qui est np i . La distance
euclidienne classique entre F n , représentée par les k effectifs observés N i , et la
f.r. F, représentée par les k effectifs théoriques np i , serait
k
i=1
(N i − np i )
2 .
Cependant, comme cette distance ne permet pas de déterminer la loi asymptotique de cette v.a., on préfère retenir une autre distance. Cette dernière sera
déterminée à partir de la remarque que les v.a. N i suivent des lois binômiales de
paramètres n et p i et que les variables centrées (N i − np i ) /
√
np i convergent
vers vers la loi N
0,
√
1 − p i
. On retient donc la distance :
d (F n ,F) =
k
i=1
(N i − np i )
2
np i
et cette somme de carrés de v.a. centrées qui sont asymptotiquement normales
et liées par la relation
k
i=1
(N i − np i ) = 0 converge vers une loi χ
2
k−1 . La valeur
de C est alors déterminée approximativement, en utilisant cette loi asymptotique, comme le fractile d'ordre 1 − α de la loi du khi-deux à k − 1 degrés de
liberté. Cette approximation est justifiée si n est assez grand et p i pas trop petit,
avec comme règle empirique np i 5 . Si ce n'est pas le cas à cause d'une valeur
de p i trop petite on doit regrouper des classes (ou des valeurs) contiguës. Pour
le calcul de la distance, il est préférable d'utiliser la formule développée :
d (F n ,F) =
k
i=1
N i
2
np i
− n
Exemple 5.2
Ayant demandé à dix personnes de fournir chacune dix chiffres choisis au
hasard, on souhaite savoir si effectivement les cent chiffres obtenus forment bien une distribution au hasard. L'hypothèse à tester ici est donc
celle d'une loi uniforme discrète sur l'ensemble des dix chiffres
{0,1,...,9} , donc avec des probabilités égales pour chacune de ces
valeurs, p i = 1/10 pour i = 0,1,...,9. Le tableau ci-après contient la
distribution empirique (observée) sur la deuxième ligne et la distribution
théorique sur la troisième.
Loi empirique 157
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
x i
0 1 2 3
4 5 6 7 8 9
N i 10 8 9 14 8 9 11 9 12 10
np i 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10