on voit ainsi que 1 − α = P {F (m,n) < 1/ f α (n,m)} et par conséquent
1/ f α (n,m) est le fractile f 1−α (m,n) , d'ordre 1 − α, de la loi F (m,n) .
Appliquons ceci à la recherche du fractile d'ordre 0,025 de la loi
F(15,10) , défini par :
0,025 = P
F (15,10) < f 0,025 (15,10)
= P
F (10,15) >
1
f 0,025 (15,10)
d'où on déduit 0,975 = P
F (10,15) < 1/ f 0,025 (15,10)
; on lit dans la
table 7 la valeur du fractile f 0,975 (10,15) = 3,06 d'où la valeur cherchée :
f 0,025 (15,10) =
1
3,06
= 0,327.
IV. Tests d’adéquation
L'examen de la loi de probabilité empirique associée à un échantillon dont la loi
parente est inconnue permet de choisir parmi les lois usuelles celle qui lui « ressemble » le plus. Si notre choix s'oriente vers une certaine loi P de fonction de
répartition (f.r.) F, on pourra retenir l'hypothèse que l'échantillon provient de
cette loi si la distance entre la f.r. théorique F et la f.r. empirique F n est faible.
Ayant fait le choix d'une certaine distance d entre fonctions de répartition, on se
fixera une règle de décision qui s'énonce ainsi : « Si l'événement d (F n ,F) < C
est réalisé, alors je retiens l'hypothèse qu'il s'agit d'un échantillon de la loi de f.r.
F ». On peut cependant se tromper en rejetant cette hypothèse alors que F est
bien la f.r. des variables de l'échantillon; cette erreur se produit avec une probabilité qui est α = P {d (F n ,F) > C} . Si on veut que ce risque d'erreur soit
faible, on fixera une valeur α faible à cette probabilité (par exemple 5 % ou
1 %) et cette valeur permettra alors de préciser la valeur de la constante C qui
apparaît dans la règle de décision, si on connaît la loi de probabilité de la v.a.
d (F n ,F) . Nous aurons ainsi réalisé un test d'adéquation, ou d'ajustement, entre
une loi théorique donnée et une loi empirique associée à un échantillon d'observations. La fixation du risque α déterminera alors la valeur du seuil d'acceptation, ou seuil critique C. Nous allons présenter maintenant deux tests, associés à
deux distances entre f.r., permettant de déterminer la loi approchée de la v.a.
d (F n ,F) pour toute f.r. F, le premier étant plutôt destiné aux lois discrètes et le
second réservé aux lois continues.
A. Test du khi-deux
Ce test est à retenir si les données sont discrètes, avec des valeurs possibles
notées x i , de probabilité p i pour 1 i k , ou si les données individuelles ne
sont pas fournies, mais ont été réparties en classes (a i ,a i+1 ) dont les fréquences
156 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
1/ f α (n,m) est le fractile f 1−α (m,n) , d'ordre 1 − α, de la loi F (m,n) .
Appliquons ceci à la recherche du fractile d'ordre 0,025 de la loi
F(15,10) , défini par :
0,025 = P
F (15,10) < f 0,025 (15,10)
= P
F (10,15) >
1
f 0,025 (15,10)
d'où on déduit 0,975 = P
F (10,15) < 1/ f 0,025 (15,10)
; on lit dans la
table 7 la valeur du fractile f 0,975 (10,15) = 3,06 d'où la valeur cherchée :
f 0,025 (15,10) =
1
3,06
= 0,327.
IV. Tests d’adéquation
L'examen de la loi de probabilité empirique associée à un échantillon dont la loi
parente est inconnue permet de choisir parmi les lois usuelles celle qui lui « ressemble » le plus. Si notre choix s'oriente vers une certaine loi P de fonction de
répartition (f.r.) F, on pourra retenir l'hypothèse que l'échantillon provient de
cette loi si la distance entre la f.r. théorique F et la f.r. empirique F n est faible.
Ayant fait le choix d'une certaine distance d entre fonctions de répartition, on se
fixera une règle de décision qui s'énonce ainsi : « Si l'événement d (F n ,F) < C
est réalisé, alors je retiens l'hypothèse qu'il s'agit d'un échantillon de la loi de f.r.
F ». On peut cependant se tromper en rejetant cette hypothèse alors que F est
bien la f.r. des variables de l'échantillon; cette erreur se produit avec une probabilité qui est α = P {d (F n ,F) > C} . Si on veut que ce risque d'erreur soit
faible, on fixera une valeur α faible à cette probabilité (par exemple 5 % ou
1 %) et cette valeur permettra alors de préciser la valeur de la constante C qui
apparaît dans la règle de décision, si on connaît la loi de probabilité de la v.a.
d (F n ,F) . Nous aurons ainsi réalisé un test d'adéquation, ou d'ajustement, entre
une loi théorique donnée et une loi empirique associée à un échantillon d'observations. La fixation du risque α déterminera alors la valeur du seuil d'acceptation, ou seuil critique C. Nous allons présenter maintenant deux tests, associés à
deux distances entre f.r., permettant de déterminer la loi approchée de la v.a.
d (F n ,F) pour toute f.r. F, le premier étant plutôt destiné aux lois discrètes et le
second réservé aux lois continues.
A. Test du khi-deux
Ce test est à retenir si les données sont discrètes, avec des valeurs possibles
notées x i , de probabilité p i pour 1 i k , ou si les données individuelles ne
sont pas fournies, mais ont été réparties en classes (a i ,a i+1 ) dont les fréquences
156 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS