Le cas particulier n = 1 correspond au rapport de deux variables normales
indépendantes qui suit une loi de Cauchy, qui possède la particularité assez rare
de n'admettre aucun moment. En effet, sa densité est
1
π(1 + x 2 )
et le calcul de
l'espérance conduit à l'intégrale généralisée :
E(X) =
1
π
+∞
−∞
xdx
1 + x 2 =
1
2π
ln(1 + x
2 )
+∞
−∞
intégrale divergente car cette quantité n'est pas définie, donc l'espérance d'une
loi de Cauchy n'existe pas.
B. Loi de Fisher-Snedecor
En présence de deux échantillons (X 1 ,...,X n ) et (Y 1 ,. . . ,Y m ) auxquels sont
associées les variances empiriques S
′2
n et S
′2
m , on peut se poser la question de
savoir s'ils proviennent de deux lois normales ayant la même variance, et pour
cela former le rapport S
′2
n /S
′2
m . Si effectivement ces deux lois ont la même
variance, ce rapport de deux lois du khi-deux indépendantes, réduites (divisées)
par leur nombre de degrés de liberté (car s'écrivant [U/(n − 1)] / [V /(m − 1)]
avec U = (n − 1)S
′2
n /σ
2 et V = (m − 1)S
′2
m /σ
2 ) , définit une nouvelle loi usuelle en statistique, appelée loi de Fisher-Snedecor. Plus généralement, si U et V
sont deux v.a. indépendantes de lois respectives χ
2
n et χ
2
m , alors le rapport
(U/n) / (V /m) suit une loi de Fisher-Snedecor à n et m degrés de liberté, notée
F(n,m). On obtient comme moments :
E [F(n,m)] =
m
m − 2
,m > 2etV [F(n,m)] =
2m
2 (n + m − 2)
n (m − 2)
2 (m − 4)
, m > 4
On peut remarquer que :
n
m
F(n,m) β II
n
2
,
m
2
et T
2
n F (1,n) .
Les fractiles de cette loi sont tabulés (table 7) pour certains couples (n,m) ;
si le couple (n,m) cherché ne figure pas, mais si le couple (m,n) est dans la
table, on utilise le fait que (V /m) / (U/n) F (m,n) .
Exemple 5.1
Pour α donné, cherchons le fractile f α (n,m) de F (n,m) défini par :
α = P {F (n,m) < f α (n,m)} = P
U/n
V /m
< f α (n,m)
= P
V /m
U/n
>
1
f α (n,m)
= P
F (m,n) >
1
f α (n,m)
= 1 − P
F (m,n) <
1
f α (n,m)
Loi empirique 155
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