C. Moments empiriques
Le moment non centré d'ordre k ∈ N
∗ de cette loi empirique est :
m kn =
1
n
n
i=1
X
k
i
avec E(m kn ) = E(X
k ) = m k et :
V (m kn ) =
1
n
V (X
k ) =
1
n
E(X
2k ) − E
2 (X
k )
=
1
n
(m 2k − m
2
k )
Le moment centré d'ordre k ∈ N
∗ de cette loi empirique est :
µ kn =
1
n
n
i=1
X i − X n
k
III. Échantillon d’une loi normale
Nous allons étudier le cas particulier où la v.a. X suit une loi normale N (m,σ ).
La moyenne empirique étant une combinaison linéaire de v.a. normales indépendantes suit aussi une loi normale :
X n N
m,
σ
√
n
La variance empirique est construite à partir des variables :
X i − X n =−
1
n
j /
= i
X j +
1 −
1
n
X i
qui sont des combinaisons linéaires de variables normales indépendantes donc
sont aussi des variables normales, d'espérance E
X i − X n
= E(X i ) − E(X n )
= 0 et de variance V (X i − X n ) = E
X i − X n
2 = E(S
′2
n ) car toutes ces
variables ont la même loi. La variable nS
′2
n est la somme des carrés de n
variables normales centrées qui sont liées par la relation
n
i=1
X i − X n
= 0e t
on peut démontrer que :
n
S
′2
n
σ 2 χ
2
n−1
Loi empirique 153
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