II. Moments empiriques
La loi de probabilité empirique P n admet des moments de tous ordres que l'on
nomme moments empiriques ou moments de l'échantillon et qui seront tous des
variables aléatoires.
A. Moyenne empirique
La moyenne de l'échantillon aléatoire est la moyenne de la loi empirique, c'està-dire l'espérance d'une loi uniforme discrète qui affecte le même poids 1/n à
chacune des valeurs X i et notée :
X n =
1
n
n
i=1
X i
Cette v.a. admet comme espérance :
E(X n ) =
1
n
n
i=1
E(X i ) = E(X) = m
et comme variance :
V (X n ) =
1
n 2
n
i=1
V (X i ) =
V (X)
n
=
σ
2
n
Ainsi, X n a la même moyenne que X, mais avec une variance qui est divisée
par la taille de l'échantillon. Les autres moments centrés de X n ont pour expressions :
E(X n − m)
3 =
µ 3
n 2 et E(X n − m)
4 =
µ 4
n 3 + 3
n − 1
n 3 σ
4
B. Variance empirique
La variance de la loi empirique est celle d'une loi de moyenne X n et qui attribue
le même poids 1/n a chacune des valeurs X i , soit :
S
′2
n =
1
n
n
i=1
X i − X n
2
Loi empirique 151
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