I. Échantillon d’une loi
On appelle échantillon de taille n d'une loi de probabilité P, une suite
(X 1 ,...,X n ) de variables aléatoires indépendantes et de même loi de probabilité P. On dit que P est la loi parente de l'échantillon. Pour tout ω de , la réalisation correspondante de l'échantillon se note (x 1 ,...,x n ) , ayant posé
x i = X i (ω),1 i n . Cette réalisation particulière étant parfois aussi appelée
échantillon, on peut alors préciser dans le premier cas en disant que (X 1 ,...,X n )
est un échantillon aléatoire. Si X est une v.a. de loi P, on dit également qu'il
s'agit d'un échantillon de la variable aléatoire X.
À partir d'un échantillon (X 1 ,. . . ,X n ) de X, nous définirons la loi de probabilité empirique P n , qui sera la distribution uniforme sur l'ensemble fini des
valeurs (X 1 ,...,X n ), c'est-à-dire qui attribue la même masse de probabilité 1/n
à chacun des points X i ,1 i n, et qui peut se noter sous la forme :
P n =
1
n
n
i=1
δ X i
où δ a est la masse de Dirac au point a. Ainsi, pour tout intervalle I de R, sa probabilité est égale au pourcentage de points de l'échantillon qui appartiennent à
cet intervalle :
P n (I ) =
1
n
n
i=1
1 I (X i )
Cette loi de probabilité admet une fonction de répartition, notée F n , appelée
fonction de répartition empirique et définie pour tout réel x par :
F n (x) =
x
−∞
dP n = P n (]−∞,x[) =
1
n
n
i=1
1 ]−∞,x[ (X i )
qui représente le pourcentage de points observés qui sont situés avant x. Les v.a.
X 1 ,...,X n étant indépendantes, la v.a. nF n (x) =
n
i=1
1 ]−∞,x[ (X i ) suit une loi
binômiale de paramètres n et F(x) puisque c'est la somme de n variables indépendantes de Bernoulli, de paramètre P
1 ]−∞,x[ (X i ) = 1
= P (X i ∈ ]−∞,x[)
= F(x). Ainsi :
E [F n (x)] = F(x) et V [F n (x)] =
1
n
F(x) [1 − F(x)] → 0 quand n →∞.
150 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS