g(z) =
1−z
−1
1
4
dx =
1
4
(2 − z)
On obtient ainsi :
g(z) =
1
4
(2 −|z|) si − 2 < z < 2
0
sinon
Exercice n°12
1) L'argument de l'exponentielle dans la densité peut aussi s'écrire :
−
(1 + a)(1 + 4a)
2a
x
2
1 + 4a
+ 2
1 + 2a
(1 + 4a)(1 + a)
xy +
y
2
1 + a
L'exemple 4.1.3 montre que le couple (X,Y ) suit une loi normale, donc les lois marginales de X et Y sont des lois normales centrées de variances respectives σ
2
X = 1 + 4a et
σ
2
Y = 1 + a. Enfin, par identification on voit que :
−
ρ
σ X σ Y
=
1 + 2a
(1 + 4a)(1 + a)
donc ρ =−
1 + 2a
σ X σ Y
et par conséquent Cov (X,Y ) =−1 − 2a. Les variables X et Y
sont donc dépendantes.
2) La définition d'un vecteur normal implique que la combinaison linéaire X + Y suive
une loi normale, avec :
E (X + Y ) = 0 et V (X + Y ) = V (X ) + 2Cov (X,Y ) + V (Y ) = a
On en déduit que Z suit une loi χ
2
1 étant le carré d'une v.a. de loi normale centrée et réduite.
Exercice n°13
La matrice est symétrique réelle, régulière et définie positive, donc il existe une matrice
orthogonale S (i.e. telle que S
−1 =
t S ) telle que S
−1 S = D ,où D est une matrice
diagonale d’éléments λ i ,1 i n . Ainsi :
Z =
t (X − µ))
−1 (X − µ) =
t (X − µ)SD
−1 S
−1 (X − µ)
Le vecteur Y = S
−1 (X − µ) =
t S(X − µ) suit une loi normale centrée, de matrice
variances-covariances V (Y ) = S
−1 S = D qui est diagonale, donc ses composantes
Y i ,1 i n , sont indépendantes, de loi N (0,
√
λ i ) . On obtient alors :
Z =
t YD
−1 Y =
n
i=1
Y
2
i
λ i
qui est la somme des carrés de n v.a. normales indépendantes centrées et réduites, donc
suit une loi χ
2
n .
On aurait pu également introduire la matrice A = D
−1/2 S
−1 ,où la matrice D
−1/2 est
la matrice diagonale d’éléments 1/
√
λ i , le vecteur U = D
−1/2 Y = A(X − µ) suivant
une loi normale standard, avec Z =
t UU =
n
i=1
U
2
i χ
2
n . Par ailleurs, si on pose
B = A
−1 :
B
t B = SD
1/2 D
1/2 S
−1 = SDS
−1 =
146 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS