donc la matrice peut s’écrire sous la forme B
t B et le vecteur X sous la forme
X = BU + µ ,avec U N n (0,I n ) .
Exercice n°14
La variable U est une combinaison linéaire de deux v.a. normales indépendantes
et centrées, donc suit aussi une loi normale centrée, de variance
V (U ) =
1
2
[V (X 1 ) + V (X 2 )] = 1 .
De même, la v.a. U
′ =
1
√
2
(X 1 + X 2 ) suit une loi normale centrée réduite. D’autre part :
1
√
2
11
−11
X 1
X 2
=
1
√
2
X 1 + X 2
X 2 − X 1
=
U
′
U
suit une loi normale dans R
2 , comme image linéaire du vecteur normal de composantes
X 1 et X 2 . Les composantes de ce vecteur normal sont telles que :
Cov(U,U
′ ) = E(UU
′ ) =
1
2
[E(X
2
2 ) − E(X
2
1 )] = 0
donc elles sont indépendantes. Ainsi, V = U
′2 /U
2 est le rapport de deux lois χ
2
1 indépendantes, donc suit une loi de Fisher-Snedecor F(1,1) (cf. chap. 5, III, B). Le rapport
W = U
′ /
√
U 2 suit une loi de Student (cf. chap. 5, III, A) à un degré de liberté,c’est-àdire la loi de Cauchy.
Si X est le vecteur normal de composantes X 1 ,X 2 et X 3 , on peut écrire Y =
t XAX en
ayant posé :
A =
1
6


52 −1
222
−12 5


La matrice A étant symétrique et idempotente (A
2 = A) , avec rangA = traceA = 2 ,
on en conclut que Y suit une loi χ
2
2 .
D’autre part, Z =
t XX − Y =
t X (I − A)X χ
2
1 car I − A est une matrice symétrique idempotente, de rang égal à sa trace, c’est-à-dire un. De plus : A(I − A) =
A − A
2 = A − A = 0 , donc Y =
t XAX et Z =
t X (I − A)X sont indépendantes.
Couple et vecteur aléatoires 147
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