On peut alors déterminer la régression :
E(Y |X = x 0 ) =
1
2(1 −
√ x 0 )
1
x 0
y
√ y
dy =
1 − x 0
√ x 0
3(1 −
√ x 0 )
=
1
3
(1 +
√
x 0 + x 0 )
On calcule alors :
E[E(Y |X)] =
+∞
−∞
E(Y |X = x) f X (x)dx =
1
3
1
0
(
1
√
x
− x)dx =
1
2
qui est bien la valeur de E(Y ) .
Exercice n°11
Les v.a. X et Y ont la même densité f (t) =
1
2
1 ]−1,1[ (t) et comme elles sont indépendantes, la densité du couple (X,Y ) est f (x) f (y) . Pour obtenir la densité du couple
(X,Z ) on effectue le changement de variable suivant :
x = x
z = y − x
Les anciennes variables s’expriment alors par :
x = x
y = z + x
ce qui permet de déterminer le jacobien de la transformation :
D(x,y)
D(x,z)
=
10
11
= 1
Le couple (X,Z ) a donc pour densité f (x) f (x + z) et la densité marginale de Z s’obtient par intégration :
g(z) =
+∞
−∞
f (x) f (x + z)dx
L’intégrande sera non nulle si on a simultanément −1 < x < 1 et −1 − z < x < 1 − z ,
soit max{−1,−1 − z} < x < min{1,1 − z} . Nous allons distinguer deux cas :
– si z < 0 :
Couple et vecteur aléatoires 145
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−1
−1 − z
11 − z
la densité est non nulle pour −1 − z < x < 1 , condition qui ne peut être réalisée que si
−1 − z < 1 , soit z > −2 ; dans ce cas :
g(z) =
1
−1−z
1
4
dx =
1
4
(2 + z)
– si z > 0 :
−1 − z
−11 − z
1
la densité est non nulle pour −1 < x < 1 − z , condition qui ne peut être réalisée que si
−1 < 1 − z , soit z < 2 ; dans ce cas :