Couple et vecteur aléatoires 143
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2) Les densités marginales s’obtiennent par intégration de la densité du couple ; pour
0 x 2 :
f X (x) =
x
2
x
0
ydy =
x
3
4
et pour 0 y 2 :
f Y (y) =
y
2
2
y
xdx =
y
4
(4 − y
2 )
Le produit f X (x) f Y (y) est différent de f (x,y) donc les variables X et Y ne sont pas
indépendantes.
3) La densité de Y sachant que X = x a pour expression quand 0 y x :
f (y|X = x) =
xy
2
×
4
x 3 =
2y
x 2
Exercice n°10
1) L’intégrale de f sur R
2 doit être égale à 1 ; elle se réduit à l’intégrale sur le domaine
D où elle est non nulle :
1 = k
D
dxdy
√ xy
= k
1
0
dx
√
x
1
x
dy
√ y
= 2k
1
0
(
1
√
x
− 1)dx = 2k
donc k =
1
2
. Remarquons que si l’expression de f est symétrique en x et y , il n’en est pas
de même du domaine D et il aurait été plus rapide ici d’intégrer d’abord par rapport à x .
Si on note le domaine défini par x < x 0 et y < y 0 , par définition
F(x 0 ,y 0 ) =
f (x,y)dxdy. Bien entendu, si x 0 0 ou y 0 0,, n’a aucun point
commun avec D où f > 0 , donc F(x 0 ,y 0 ) = 0 . Pour un point M(x 0 ,y 0 ) situé
dans D maintenant (voir figure 4.9) c’est-à-dire tel que 0 < x 0 y 0 < 1 :
F(x 0 ,y 0 ) =
D∩
dxdy
2
√ xy
=
1
2
x 0
0
dx
√
x
y 0
x
dy
√ y
=
1
2
x 0
0
dx
√
x
(2
√ y 0 − 2
√
x)
=
x 0
0
(
√ y 0
√
x
− 1)dx =
√
x 0 (2
√ y 0 −
√
x 0 )
1
y 0
y
x
1
x 0
M 1 (x 1 ,y 0 )
M 2 (x 0 ,y 1 )
0 0
y = x
∆
D
M (x 0 ,y 0 )
Figure 4.7