Exercice n°9
1) Si x 0 ou y 0 on a bien sûr F(x,y) = 0 puisque la densité est nulle dans toute
cette zone du plan. Pour un point M(x,y) situé dans le triangle où f > 0 ,c’est-à-dire
pour 0 < y x 2 on obtient (voir figure 4.6) :
F(x,y) =
1
2
y
0
vdv
x
v
udu =
1
4
y
0
v(x
2 − v
2 )dv
=
1
4
(
x
2 y
2
2
−
y
4
4
) =
y
2
16
(2x
2 − y
2 )
Nous allons maintenant sortir du triangle, sur l’horizontale à droite de M(x,y) pour
nous situer en un point M 1 (x,y) de coordonnées telles que 0 < y < 2 x . La valeur
de F en ce point est la même qu’au point d’intersection de l’horizontale avec la frontière du triangle puisqu’au-delà f = 0 , soit :
F(x,y) = F(2,y) =
y
2
16
(8 − y
2 )
142 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Si on sort du triangle sur la verticale de M pour atteindre un point M 2 (x,y) de coordonnées telles que 0 < x y et x 2 , on obtient de même :
F(x,y) = F(x,x) =
x
4
16
Enfin, si x 2 et y 2 , tout le triangle est recouvert et F(x,y) = 1 . En résumé :
F(x,y) =



















0s i x 0ouy 0
1
16
y
2 (2x
2 − y
2 ) si 0 < y x < 2
1
16
x
4
si 0 x 2etx y
1
16
y
2 (8 − y
2 )
si 0 y 2 x
1s i x 2ety 2
2
y
v
u
2
x
M 1
M 2
0 0
M(x,y)
u = x
u = v
u = v
Figure 4.6