Ainsi, E(X|S) = S
λ
λ + µ
et E[E(X|S)] = E(S)
λ
λ + µ
= λ = E(X) .
Exercice n°7
Les densités marginales s’obtiennent par intégration de la densité du couple :
f X (x) =
x
0
e
y−x dy = 1 − e
−x si 0 x 1
f X (x) =
1
0
e
y−x dy = (e − 1)e
−x si 1 x
avec f X (x) = 0 si x 0 ;
et :
f Y (y) =
+∞
y
e
y−x dx = 1 si 0 y 1
la densité étant nulle en dehors de cet intervalle.
Les variables aléatoires X et Y sont dépendantes car f (x,y) = / f X (x) f Y (y)
Exercice n°8
On note X et Y les v.a. qui représentent les dates d'arrivée de Paul et Virginie à leur rendez-vous, en prenant 11h comme origine et l'heure comme unité de temps. Leur arrivée
au hasard se traduit par l'hypothèse que ces deux v.a. suivent une loi uniforme sur [0,1]
et sont indépendantes. Leur rencontre correspond alors à l'événement |X − Y | <
1
4
et la
probabilité p s'obtient par l'intégrale suivante :
p = P
|X − Y | <
1
4
=
D
dxdy
où le domaine d'intégration est D =
(x,y) /0 x 1,0 y 1,|x − y| <
1
4
.
Compte tenu de la forme de ce domaine et de sa symétrie par rapport à la première bissectrice (cf. figure 4.7), il est préférable de calculer la probabilité du complémentaire :
1 − p = 2
3/4
0
dx
1
x+1/4
dy = 2
3/4
0
3
4
− x
dx =
9
16
Ainsi p =
7
16
.
Couple et vecteur aléatoires 141
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1
y
x
1
0 0
y = x + 1
4
y = x – 1
1/4
1/4
3/4
4
D
Figure 4.5