Exercice n°3
1) Les lois marginales s’obtiennent par addition des lignes et des colonnes et figurent
dans le tableau ci-après:
Couple et vecteur aléatoires 139
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
1
2
3
012
1/12
0
1/12
1/6
2/12
1/12
1/12
1/3
3/12
2/12
1/12
1/2
1/2
1/4
1/4
1
X
Y
123
1/6
1/3
1/2
0
1/3
2/3
1/3
1/3
1/3
Y
X = 0
X = 1
X = 2
On voit par exemple que P(X = 1,Y = 1) = 0 = / P(X = 1)P(Y = 1) = 1/24
donc les v.a. X et Y ne sont pas indépendantes.
2) On calcule à partir du tableau E(X) =
1
4
+
2
4
=
3
4
, E(Y ) =
1
6
+
2
3
+
3
2
=
7
3
puis
E(XY) =
1
12
(2 + 6 + 2 + 4 + 6) =
5
3
. On en déduit Cov(X,Y ) =
5
3
−
7
4
=−
1
12
ce qui confirme que les variables ne peuvent pas être indépendantes.
3) Il faut au préalable déterminer les lois conditionnelles de Y qui sont données dans le
tableau ci-après :
On calcule alors à partir du tableau précédent :
E(Y |X = 0) =
7
3
E(Y |X = 1) =
8
3
E(Y |X = 2) = 2
On en déduit la loi :
E(Y |X) 2
7/3
8/3
1/4
1/2
1/4
puis la valeur :
E[E(Y |X)] =
2
4
+
7
6
+
2
3
=
7
3
On retrouve bien la valeur de E(Y ).
Exercice n°4
Comme P(Y = 1) = 0,5 la loi de X|Y = 1 s’obtient en multipliant la première colonne par deux et est donnée par le tableau ci-après: