Exercice n°9
Soit (X,Y ) un couple de v.a. dont la loi est déterminée par la densité :
f (x,y) =
xy/2s i 0 x 2et0 y x
0
sinon
1) Déterminer la fonction de répartition F de ce couple.
2) Déterminer les lois marginales de X et Y . Ces variables sont-elles indépendantes ?
3) Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant que X = x .
Exercice n°10
Soit (X,Y ) un couple de v.a. de densité :
f (x,y) =
k
√ xy
si 0 < x y < 1
0
sinon
1) Déterminer la valeur de la constante k puis la fonction de répartition F de ce couple.
2) Déterminer les lois marginales de X et Y . Ces variables sont-elles indépendantes ?
3) Déterminer les lois conditionnelles de X|Y = y et de Y |X = x . En déduire
l’expression de la fonction de régression x → E(Y |X = x) puis calculer E[E(Y |X)] .
Exercice n°11
Soit X et Y deux v.a. indépendantes et de même loi uniforme sur ] − 1,1[ . Déterminer
la loi de probabilité de la v.a. Z = Y − X.
Exercice n°12
Soit (X,Y ) un couple de v.a. de densité :
f (x,y) =
1
2π
√
a
exp −
1
2a
(1 + a) x
2 + 2 (1 + 2a) xy + (1 + 4a) y
2
avec a > 0.
1) Déterminer les lois marginales de X et Y. Ces variables sont-elles indépendantes ?
2) Déterminer la loi de la v.a. Z =
1
a
(X + Y )
2 .
Exercice n°13
Si X est un vecteur de loi N n (µ,,) , montrer que la v.a. réelle
t (X − µ))
−1 (X − µ)
suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté.
Exercice n°14
Soit X 1 ,X 2 et X 3 trois v.a. indépendantes de même loi N (0,1) . Déterminer la loi de
probabilité des v.a. suivantes :
U =
1
√
2
(X 2 − X 1 ), V =
(X 1 + X 2 )
2
(X 1 − X 2 ) 2 , W =
X 1 + X 2
(X 1 − X 2 ) 2
Y =
1
6
(5X
2
1 + 2X
2
2 + 5X
2
3 + 4X 1 X 2 − 2X 1 X 3 + 4X 2 X 3 )
Z = X
2
1 + X
2
2 + X
2
3 − Y
et montrer que Y et Z sont indépendantes.
Couple et vecteur aléatoires 137
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