Exercice n°4
Soit (X,Y ) un couple de v.a. discrètes dont la loi de probabilité est donnée par le tableau
ci-après:
136 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
1
2
3
4
1234
000
0 , 3
0,2
0
0
0
0
0
0,1
0
0,3
0,1
0
0
Y
X
Déterminer les lois conditionnelles de X sachant que Y = 1 puis de Y sachant que
X ∈{3,4} .
Exercice n°5
Soit X et Y deux v. a. de loi normale centrée et réduite et de coefficient de corrélation
linéaire ρ = sin θ. On montre que P(X > 0,Y > 0) =
1
4
+
θ
2π
= p.
1) Déterminer la loi de probabilité des v. a. −X et −Y et en déduire la valeur de
P(X < 0,Y < 0) .
2) Soit X 1 et X 2 deux v. a. qui ont la même loi que X et Y 1 , Y 2 deux v. a. qui ont la même
loi que Y , les couples (X 1 ,Y 1 ) et (X 2 ,Y 2 ) étant indépendants. Déterminer les lois de probabilité des v. a. U = X 1 − X 2 et V = Y 1 − Y 2 . Calculer le coefficient de corrélation
linéaire de U et V et en déduire P(U > 0,V > 0) .
3) On définit les v. a. W = 1 si U > 0, W =−1 si U < 0, Z = 1 si V > 0 et Z =−1
si V < 0. Calculer E(WZ) .
Exercice n°6
Soit X et Y deux v.a. indépendantes de lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ .
Déterminer la loi conditionnelle de X lorsque la somme S = X + Y a une valeur fixée
S = s . En déduire l’expression de la fonction de régression de X sur S puis la valeur de
E[E(X|S)] .
Exercice n°7
Un couple (X,Y ) de variables aléatoires réelles admet pour densité
f (x,y) = exp(y − x) pour 0 y 1 et y x ,avec f (x,y) = 0 sinon.
Déterminer les densités marginales de X et Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles
indépendantes ?
Exercice n°8
Paul et Virginie se fixent un rendez-vous entre 11h et midi, sans autre précision. Comme
ils sont impatients tous les deux, celui qui est arrivé part au bout d'un quart d'heure si
l'autre n'arrive pas pendant ce laps de temps. Calculer la probabilité p qu'ils se rencontrent effectivement à ce rendez-vous. On formalisera le problème en considérant que l'arrivée de chacun se produit au hasard pendant l'heure fixée du rendez-vous.
Soit (X,Y ) un couple de v.a. discrètes dont la loi de probabilité est donnée par le tableau
ci-après:
136 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
1
2
3
4
1234
000
0 , 3
0,2
0
0
0
0
0
0,1
0
0,3
0,1
0
0
Y
X
Déterminer les lois conditionnelles de X sachant que Y = 1 puis de Y sachant que
X ∈{3,4} .
Exercice n°5
Soit X et Y deux v. a. de loi normale centrée et réduite et de coefficient de corrélation
linéaire ρ = sin θ. On montre que P(X > 0,Y > 0) =
1
4
+
θ
2π
= p.
1) Déterminer la loi de probabilité des v. a. −X et −Y et en déduire la valeur de
P(X < 0,Y < 0) .
2) Soit X 1 et X 2 deux v. a. qui ont la même loi que X et Y 1 , Y 2 deux v. a. qui ont la même
loi que Y , les couples (X 1 ,Y 1 ) et (X 2 ,Y 2 ) étant indépendants. Déterminer les lois de probabilité des v. a. U = X 1 − X 2 et V = Y 1 − Y 2 . Calculer le coefficient de corrélation
linéaire de U et V et en déduire P(U > 0,V > 0) .
3) On définit les v. a. W = 1 si U > 0, W =−1 si U < 0, Z = 1 si V > 0 et Z =−1
si V < 0. Calculer E(WZ) .
Exercice n°6
Soit X et Y deux v.a. indépendantes de lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ .
Déterminer la loi conditionnelle de X lorsque la somme S = X + Y a une valeur fixée
S = s . En déduire l’expression de la fonction de régression de X sur S puis la valeur de
E[E(X|S)] .
Exercice n°7
Un couple (X,Y ) de variables aléatoires réelles admet pour densité
f (x,y) = exp(y − x) pour 0 y 1 et y x ,avec f (x,y) = 0 sinon.
Déterminer les densités marginales de X et Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles
indépendantes ?
Exercice n°8
Paul et Virginie se fixent un rendez-vous entre 11h et midi, sans autre précision. Comme
ils sont impatients tous les deux, celui qui est arrivé part au bout d'un quart d'heure si
l'autre n'arrive pas pendant ce laps de temps. Calculer la probabilité p qu'ils se rencontrent effectivement à ce rendez-vous. On formalisera le problème en considérant que l'arrivée de chacun se produit au hasard pendant l'heure fixée du rendez-vous.