A. Application mesurable
Les notions vues dans le chapitre 2 se généralisent en multidimensionnel, où R
n est
muni de sa tribu borélienne B , engendrée par les ouverts ou les pavés de la forme
n
i=1
] −∞,x i [ . Un vecteur aléatoire X est alors défini comme une application mesurable
de ((,A) dans (R
n ,B) . La loi de X admettra une densité si elle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue λ de R
n ,définie à partir de :
λ(
n
i=1
]a i ,b i ]) =
n
i=1
(b i − a i ) .
B. Changement de variable
Soit g : R
n → R
n une application bijective de X (() , ouvert de R
n , dans un ouvert de
R
n , admettant des dérivées partielles continues ainsi que son inverse g
−1 . Si X est un
vecteur aléatoire de R
n de densité f , alors Y = g(X) est un vecteur aléatoire de R
n de
densité h définie par :
h(y) = f
g
−1 (y)
D(x)
D(y)
où
D(x)
D(y)
représente le jacobien de la transformation inverse, c’est-à-dire le déterminant
des dérivées partielles des anciennes variables exprimées en fonction des nouvelles sous
la forme x i = g
−1
i (y),1 i n , donc ayant comme élément ligne i , colonne j ,
1 j n :
∂g
−1
i (y)
∂ y j
Si on retient comme application la convolution, pour obtenir la loi de la somme de n
v.a. indépendantes X 1 ,...,X n on fait le changement X 1 = X 1 ,...,X n−1 = X n−1 ,
Y = X 1 + ...+ X n . Les anciennes coordonnées s’écrivent sous la forme
x 1 = x 1 ,...,x n−1 = x n−1 ,x n = y − x 1 − ...− x n−1 d’où un jacobien égal à un et une
densité de Y qui se détermine par :
h(y) =
R n−1
f (x 1 ,...,x n−1 ,y − x 1 − ...− x n−1 )dx 1 ...dx n−1
Couple et vecteur aléatoires 133
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