• Loi du khi-deux
Soit un vecteur X de loi normale standard N n (0,I n ) et A une matrice symétrique
d’ordre n . On établit le résultat suivant :
t XAX χ
2
p
⇔ A est une matrice idempotente de rang p .
Rappelons que A est idempotente si A
2 = A et que dans ce cas
rangA = traceA .
Si A et B sont deux matrices symétriques et idempotentes, on a également
le résultat suivant :
t XAX et
t XBX sont des v.a. indépendantes ⇔ AB = 0.
132 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
À retenir
Deux v.a. sont indépendantes si la loi du couple s’obtient comme produit des lois marginales : produit des probabilités des points dans le cas discret et produit des densités dans le cas continu.
La covariance est une mesure de la dépendance linéaire entre deux v.a.
Deux v.a. indépendantes ont une covariance nulle. La réciproque est fausse
en général. Cependant, si deux v.a. sont des composantes d’un vecteur normal et que leur covariance est nulle, alors elles sont indépendantes.
La fonction de régression d’une variable Y sur une variable X associe à
tout réel x l’espérance (moyenne) de Y lorsque la valeur de X est fixée,
égale à x.
Un vecteur aléatoire admet comme composantes des variables aléatoires
réelles. On lui associe comme moments son espérance, caractéristique de
valeur centrale, vecteur dont les composantes sont les espérances des v.a.
composantes, et sa matrice de variances-covariances, caractéristique de dispersion dans l’espace, qui rassemble les variances des composantes sur la
diagonale principale et les covariances des composantes associées deux à
deux pour les autres éléments.
Par une transformation affine (changement d’échelles et d’origine), les
moments deviennent :
E(AX + b) = AE(X) + b
V (AX + b) = AV (X)
t A
pour toute matrice A de format (m,n) et tout vecteur b de R
m .
Soit un vecteur X de loi normale standard N n (0,I n ) et A une matrice symétrique
d’ordre n . On établit le résultat suivant :
t XAX χ
2
p
⇔ A est une matrice idempotente de rang p .
Rappelons que A est idempotente si A
2 = A et que dans ce cas
rangA = traceA .
Si A et B sont deux matrices symétriques et idempotentes, on a également
le résultat suivant :
t XAX et
t XBX sont des v.a. indépendantes ⇔ AB = 0.
132 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
À retenir
Deux v.a. sont indépendantes si la loi du couple s’obtient comme produit des lois marginales : produit des probabilités des points dans le cas discret et produit des densités dans le cas continu.
La covariance est une mesure de la dépendance linéaire entre deux v.a.
Deux v.a. indépendantes ont une covariance nulle. La réciproque est fausse
en général. Cependant, si deux v.a. sont des composantes d’un vecteur normal et que leur covariance est nulle, alors elles sont indépendantes.
La fonction de régression d’une variable Y sur une variable X associe à
tout réel x l’espérance (moyenne) de Y lorsque la valeur de X est fixée,
égale à x.
Un vecteur aléatoire admet comme composantes des variables aléatoires
réelles. On lui associe comme moments son espérance, caractéristique de
valeur centrale, vecteur dont les composantes sont les espérances des v.a.
composantes, et sa matrice de variances-covariances, caractéristique de dispersion dans l’espace, qui rassemble les variances des composantes sur la
diagonale principale et les covariances des composantes associées deux à
deux pour les autres éléments.
Par une transformation affine (changement d’échelles et d’origine), les
moments deviennent :
E(AX + b) = AE(X) + b
V (AX + b) = AV (X)
t A
pour toute matrice A de format (m,n) et tout vecteur b de R
m .