P(Y < y) = P(ε X < y)
= P{(ε X < y) ∩ (ε = 1)}+P{(ε X < y) ∩ (ε =−1)}
=
1
2
P(X < y) +
1
2
P(−X < y)
=
1
2
[(y) + 1 − (−y)] = (y)
où est la f.r. de la loi N (0,1) qui est donc la loi suivie par Y . Par
ailleurs :
Cov(X,Y ) = E(XY) − E(X)E(Y ) = E(ε X
2 ) = E(ε)E(X
2 ) = 0
Si on en concluait que X et Y étaient deux variables indépendantes, la
v.a. X + Y suivrait alors une loi N (0,
√
2) . Or :
P(X + Y = 0) = P{(ε + 1)X = 0}=P(ε =−1) =
1
2
ce qui est incompatible avec le fait que la loi de X + Y soit continue. On
a donc établi que X et Y sont deux variables normales de covariance
nulle et cependant dépendantes.
• Transformation affine d’un vecteur normal
Soit X un vecteur de loi N n (µ,,) et de composantes X i ,1 i n . Nous allons
effectuer une transformation affine à partir d’une matrice A de format (m,n) ,
traduction matricielle d’une application linéaire de R
n dans R
m , et d’un vecteur
de translation b de R
m : Y = AX + b. Nous allons établir tout d’abord que le
vecteur Y est aussi normal. En effet, si a est un vecteur quelconque de R
m ,l a
combinaison linéaire :
t aY = (
t aA)X +
t ab =
n
i=1
α i X i + β N 1
ayant posé
t α =
t aA, vecteur de composantes α i ,1 i n , et β =
t ab ∈ R .
En effet, par définition de la loi normale vectorielle, la combinaison linéaire
t α X est une v.a. réelle normale et donc aussi
t α X + β . Ainsi, toute combinaison linéaire des composantes de Y suit une loi normale, ce qui signifie par
définition que Y est un vecteur normal de R
m . D’après les propriétés des opérateurs espérance et variance vues au III, ses moments sont E(Y ) =
AE(X) + b = Aµ + b = µ
′ et V (Y ) = A
t A =
′ , et ainsi Y N m (µ
′ ,,
′ ) .
Dans le cas particulier d’une transformation linéaire, c’est-à-dire avec b = 0,
et pour un vecteur X de loi normale standard, X N n (0,I n ) , alors :
Y = AX N m (0,A
t A) .
Couple et vecteur aléatoires 131
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