• Cas particulier
Après la définition de la loi normale vectorielle, nous avions noté que n v.a.
réelles normales ne constituaient pas nécessairement les composantes d’un vecteur normal. Cependant, si X 1 ,...,X n sont des v.a. normales indépendantes,de
lois respectives N (µ i ,σ i ),1 i n , alors elles constituent les composantes
d’un vecteur X normal, toute combinaison linéaire de v.a. normales indépendantes suivant une loi normale. Ses paramètres sont :
E(X) =
µ 1
. . .
µ n
et V (X) =
σ
2
1
0
. . .
0
σ
2
n
avec pour densité au point x = (x 1 ,. . . ,x n ) :
f (x) =
n
i=1
1
σ i
√
2π
exp −
1
2σ
2
i
(x i − µ i )
2
=
1
(
√
2π) n n
i=1 σ i
exp −
1
2
n
i=1
x i − µ i
σ i
2
Dans le cas particulier de variables centrées et réduites, c’est-à-dire pour
µ i = 0 et σ i = 1,1 i n , on obtient la loi normale standard vectorielle,
X N n (0,I n ) , de densité :
f (x) =
1
(
√
2π) n
exp −
1
2
n
i=1
x
2
i =
1
(2π) n/2 exp −
1
2
x
2
la norme étant ici la norme euclidienne classique.
130 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Propriété
Si X i et X j sont les composantes d’un vecteur normal, elles sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle : Cov(X i ,X j ) = 0.
Nous avons ici un cas particulier où la covariance nulle implique l’indépendance. Il faut cependant bien faire attention à l’énoncé de cette propriété, car si
X i et X j sont deux variables normales dont la covariance est nulle, cela n’implique pas forcément qu’elles soient indépendantes. Pour s’en convaincre examinons l’exemple suivant.
Exemple 4.14
Soit X de loi N (0,1) et ε de loi définie par P(ε = 1) = P(ε =−1) =
1
2
deux v.a. indépendantes à partir desquelles on définit la v.a. Y = ε X. La
loi de probabilité de cette nouvelle variable est définie par :
Après la définition de la loi normale vectorielle, nous avions noté que n v.a.
réelles normales ne constituaient pas nécessairement les composantes d’un vecteur normal. Cependant, si X 1 ,...,X n sont des v.a. normales indépendantes,de
lois respectives N (µ i ,σ i ),1 i n , alors elles constituent les composantes
d’un vecteur X normal, toute combinaison linéaire de v.a. normales indépendantes suivant une loi normale. Ses paramètres sont :
E(X) =
µ 1
. . .
µ n
et V (X) =
σ
2
1
0
. . .
0
σ
2
n
avec pour densité au point x = (x 1 ,. . . ,x n ) :
f (x) =
n
i=1
1
σ i
√
2π
exp −
1
2σ
2
i
(x i − µ i )
2
=
1
(
√
2π) n n
i=1 σ i
exp −
1
2
n
i=1
x i − µ i
σ i
2
Dans le cas particulier de variables centrées et réduites, c’est-à-dire pour
µ i = 0 et σ i = 1,1 i n , on obtient la loi normale standard vectorielle,
X N n (0,I n ) , de densité :
f (x) =
1
(
√
2π) n
exp −
1
2
n
i=1
x
2
i =
1
(2π) n/2 exp −
1
2
x
2
la norme étant ici la norme euclidienne classique.
130 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Propriété
Si X i et X j sont les composantes d’un vecteur normal, elles sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle : Cov(X i ,X j ) = 0.
Nous avons ici un cas particulier où la covariance nulle implique l’indépendance. Il faut cependant bien faire attention à l’énoncé de cette propriété, car si
X i et X j sont deux variables normales dont la covariance est nulle, cela n’implique pas forcément qu’elles soient indépendantes. Pour s’en convaincre examinons l’exemple suivant.
Exemple 4.14
Soit X de loi N (0,1) et ε de loi définie par P(ε = 1) = P(ε =−1) =
1
2
deux v.a. indépendantes à partir desquelles on définit la v.a. Y = ε X. La
loi de probabilité de cette nouvelle variable est définie par :