où le vecteur Y est centré puisque E(Y ) = 0 et réduit, au sens où ses composantes sont non corrélées et de variance un :
V (Y ) =
−1/2
−1/2 = S(( S) = SS
−1 = I n
car
−1 = S
2 = I n d’où S = S
−1 .
IV. Lois usuelles
A. Loi multinomiale
Il s’agit en quelque sorte d’une loi binômiale multidimensionnelle où on ne
s’intéresse pas seulement à la réalisation d’un événement particulier A , mais à
celle de k événements distincts A 1 ,...,A k de probabilités respectives p 1 ,...,p k
au cours de n épreuves successives indépendantes. On a bien entendu p j > 0
pour 1 j k et
k
j=1
p j = 1 . On associe alors à cette expérience aléatoire le
vecteur N à valeurs dans {0,1,...,n}
k dont les composantes N j ,1 j k ,
représentent le nombre d’événements A j réalisés. Le vecteur aléatoire N suit une
loi multinomiale de paramètres n, p 1 ,. . . , p k , notée M(n; p 1 ,...,p k ) et définie
par :
P(N 1 = n 1 ,. . . ,N k = n k ) =
n!
n 1 ! ...n k !
p
n 1
1 ... p
n k
k
où (n 1 ,...,n k ) ∈{0,1,. . . ,n}
k . Il est important de noter que les v.a. composantes de N ne sont pas indépendantes puisque :
k
j=1
N j =
k
j=1
n j = n
Le coefficient qui figure devant p
n 1
1 ... p
n k
k , qui représente la probabilité d’un
événement élémentaire réalisant l’événement (N 1 = n 1 ,...,N k = n k ) , est le
nombre de partitions de n objets en k classes d’effectifs donnés n i ,a v e c
n 1 + ...+ n k = 1 , ou le nombre de suites ordonnées de n objets comportant n i
objets identiques, 1 i k , choisis dans k classes distinctes (cf. Compléments
§ C. chap. 1).
Si on pose
t p = ( p 1 ,...,p k ) , on peut écrire N M(n; p) et ce vecteur
aléatoire admet comme espérance :
E(N ) =


E(N 1 )
. . .
E(N k )

 = n


p 1
. . .
p k

 = np
Couple et vecteur aléatoires 125
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