Dans le cas d’un couple aléatoire, nous avions introduit la covariance comme
moment centré d’ordre deux ; s’agissant ici d’un vecteur à n composantes aléatoires, il faut considérer toutes les associations deux à deux de ses composantes.
La généralisation de la variance définie en unidimensionnel, indicateur numérique de dispersion autour du centre, sera ici une matrice, notée encore V (X) ,
et qui contiendra toutes les variances des composantes de X , ainsi que les covariances de tous les couples associant deux composantes. Cette matrice est aussi
un indicateur de dispersion autour du centre E(X) qui renseigne sur la forme de
l’ellipsoïde d’inertie ; c’est une matrice carrée symétrique d’ordre n , appelée
matrice de variances-covariances, et définie par :
V (X) = E{[X − E(X)]
t [X − E(X)]}
c’est-à-dire comme l’espérance d’une matrice M dont les éléments sont des v.a.
M ij et qui est définie comme la matrice d’éléments E(M ij ) . L’élément ligne i ,
colonne j , de cette matrice, 1 i, j n, est d’ailleurs :
v ij = E{[X i − E(X i )][X j − E(X j )]}=Cov(X i ,X j )
et par conséquent on trouve les variances sur la diagonale principale de cette
matrice :
v ii = E{[X i − E(X i )]
2 }=V (X i )
Comme propriétés de ces deux moments généralisés, nous allons examiner
les effets d’un changement d’échelles, traduit par une application linéaire de R
n
dans R
m de représentation matricielle A de format (m,n) , puis d’un changement
d’origine, traduit par une translation de vecteur b de R
m . Le vecteur X devient
après cette transformation affine le vecteur Y = AX + b. L’opérateur espérance
mathématique est toujours linéaire en multidimensionnel et le vecteur espérance va donc subir la même transformation :
E(Y ) = E(AX + b) = AE(X) + b
alors que la matrice de variances-covariances n’est pas modifiée par le changement d’origine, étant un moment centré :
V (Y ) = V (AX + b) = V (AX) = AV (X)
t A
En effet :
Y − E(Y ) = AX + b − [AE(X) + b] = A[X − E(X)]
et par conséquent :
[Y − E(Y )]
t [Y − E(Y )] = A[X − E(X)]
t [X − E(X)]
t A
On peut opérer une transformation particulière permettant d’obtenir le vecteur Y centré et réduit. La matrice = V (X) étant définie-positive admet une
inverse
−1 définie-positive et il existe une matrice symétrique S telle que
S
2 =
−1 , qui sera notée S =
−1/2 . On effectue alors la transformation :
Y =
−1/2 [X − E(X)]
124 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
moment centré d’ordre deux ; s’agissant ici d’un vecteur à n composantes aléatoires, il faut considérer toutes les associations deux à deux de ses composantes.
La généralisation de la variance définie en unidimensionnel, indicateur numérique de dispersion autour du centre, sera ici une matrice, notée encore V (X) ,
et qui contiendra toutes les variances des composantes de X , ainsi que les covariances de tous les couples associant deux composantes. Cette matrice est aussi
un indicateur de dispersion autour du centre E(X) qui renseigne sur la forme de
l’ellipsoïde d’inertie ; c’est une matrice carrée symétrique d’ordre n , appelée
matrice de variances-covariances, et définie par :
V (X) = E{[X − E(X)]
t [X − E(X)]}
c’est-à-dire comme l’espérance d’une matrice M dont les éléments sont des v.a.
M ij et qui est définie comme la matrice d’éléments E(M ij ) . L’élément ligne i ,
colonne j , de cette matrice, 1 i, j n, est d’ailleurs :
v ij = E{[X i − E(X i )][X j − E(X j )]}=Cov(X i ,X j )
et par conséquent on trouve les variances sur la diagonale principale de cette
matrice :
v ii = E{[X i − E(X i )]
2 }=V (X i )
Comme propriétés de ces deux moments généralisés, nous allons examiner
les effets d’un changement d’échelles, traduit par une application linéaire de R
n
dans R
m de représentation matricielle A de format (m,n) , puis d’un changement
d’origine, traduit par une translation de vecteur b de R
m . Le vecteur X devient
après cette transformation affine le vecteur Y = AX + b. L’opérateur espérance
mathématique est toujours linéaire en multidimensionnel et le vecteur espérance va donc subir la même transformation :
E(Y ) = E(AX + b) = AE(X) + b
alors que la matrice de variances-covariances n’est pas modifiée par le changement d’origine, étant un moment centré :
V (Y ) = V (AX + b) = V (AX) = AV (X)
t A
En effet :
Y − E(Y ) = AX + b − [AE(X) + b] = A[X − E(X)]
et par conséquent :
[Y − E(Y )]
t [Y − E(Y )] = A[X − E(X)]
t [X − E(X)]
t A
On peut opérer une transformation particulière permettant d’obtenir le vecteur Y centré et réduit. La matrice = V (X) étant définie-positive admet une
inverse
−1 définie-positive et il existe une matrice symétrique S telle que
S
2 =
−1 , qui sera notée S =
−1/2 . On effectue alors la transformation :
Y =
−1/2 [X − E(X)]
124 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS