Pour pouvoir retirer la valeur absolue, il faut connaître le signe sur l’intervalle d’intégration et pour cela distinguer deux cas :
– si z < 0 :
4g(z) =
z
−∞
e
2x−z dx +
0
z
e
z dx +
+∞
0
e
z−2x dx
= e
−z [
1
2
e
2x ]
z
−∞ − ze
z + e
z [−
1
2
e
−2x ]
+∞
0
=
1
2
e
z − ze
z +
1
2
e
z = (1 − z)e
z
– si z > 0 :
4g(z) =
0
−∞
e
2x−z dx +
z
0
e
−z dx +
+∞
z
e
z−2x dx
= e
−z [
1
2
e
2x ]
0
−∞ + ze
−z + e
z [−
1
2
e
−2x ]
+∞
z
=
1
2
e
−z + ze
−z +
1
2
e
−z = (1 + z)e
−z
La densité de Z = X + Y pouvant s’écrire dans tous les cas :
g(z) =
1
4
(1 +|z|)e
−|z|
III. Vecteur aléatoire
Nous allons étendre maintenant les notions précédentes au cas d’un vecteur
aléatoire ayant n composantes, avec n 2. Un vecteur aléatoire X de R
n est
une application de dans R
n qui s’écrit sous la forme d’un vecteur colonne :
X =


X 1
. . .
X n


dont toutes les composantes X i ,1 i n , sont des v.a., c’est-à-dire des applications de dans R . On définit alors l’espérance de ce vecteur aléatoire comme
le vecteur dont les n composantes sont les espérances des v.a. réelles composantes de ce vecteur et on conserve la même notation qu’en unidimensionnel :
E(X) =


E(X 1 )
. . .
E(X n )


Couple et vecteur aléatoires 123
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